Teoreem lõikuvatest kõõludest


Vaadates eestikeelset matemaatika käsiraamatut, ei ole seal antud teoreemi nime mainitud. Inglisekeelses kirjanduses siiski nimi eksisteerib ja otsustasin selle samuti eestikeelsena esitada.

Siiski on teoreem käsiraamatus sõnastud ja toome ka selle siin ära. See teoreem on tegelikult üldistus “Teoreemist punkti võimsusest”

Teoreem lõikuvatest kõõludest: Kui ringjoone kõõlud (chord) lõikuvad, siis lõikepunkt jaotab kõõlud osadeks nii, et ühe kõõlu lõikude korrutis võrdub teise kõõlu lõikude korrutisega.

Tõestus: Olgu meil antud ringjoone sisepunkt P ja kaks siregt, mis läbivad punkti P ning lõikavad ringjoont vastavalt punktides B, C ja A, D. peame näitama , et AP·DP = BP·CP.

Tõestus on tegelikult lihtne. Kui suudame ära näidata, et kolmnurgad ABP ja CDP on sarnased, saame kirjutada välja vastavate külgede suhted, mille õigel kombineerimisel saame oma teoreemi kätte.

Miks on ABP ja CDP sarnased?

  • BAD = BCD, sest samale kaarele (arc) toetuvad piirdenurgad on võrdsed
  • ABC = ADC, sama põhjus, mis eelmine
  • APB = CPD, paar tipunurki (verical angles)

Tunnuse NNN põhjal on need kolmnurgad sarnased. Kolmnurkade sarnasusest saame suhte, et

(*) AP/CP = BP/DP = AB/CD

Võrde põhiomaduse rakendamine esimesele sarnasusele (AP/CP = BP/DP) viibki meid otse selleni, mida tahtsime näidata e. AP·DP = BP·CP.

Kuna tõestus kasutab ainult suhte esimest poolt, võib tähelepanelikul vaatlejal tekkida küsimus, et kas kolmas suhe (AB/CD) on ka millegi jaoks kasulik?

See probleem kerkis esile vene ajakirjas “Kvant” ja arendati edasi R. Honsbergeri poolt. Ülesanne oli järgnev:

Paat 1 ja paat 2, mis liiguvad konstantsete kiirustega, mis ei pea tingimata võrdsed olema, väljuvad samal ajal sadamast A ja C ning hakkavad liikuma ringikujulise järve vastaskallaste suunas. Kui punktist A alustav paat liiguks punkti D ja C oma punkti B, põrkaksid nad kokku. Tõesta, et kui Paat üks liiguks punktist A punkti B ja Paat kaks punktist C punkti D, jõuaksid nad pärale samaaegselt.

Tõestus jälgib seost (*) ja kasutab kolmandat suhet.

Olgu paatide kiirused v1 ja v2. Fakt, et nad põrkaksid kokku, kui paat 1 prooviks minna punktist A punkti D ja paat kaks punktist C punkti B juhib arusaamani, et nad jõuaksid punkti P samaaegselt. Seega AP/v1 = CP/v2.

Siit saame kohe teha teisenduse AP/CP = v1/v2, võttes nüüd arvesse suhet (*) saame AB/CD = v1/v2, millevõime ümber kirjutada AB/v1 = CD/v2.  Antud tulemust saamegi tõlgendada, et kui paat 1 suunduks punkti B ja paat 2 punti D, jõuaksid nad pärale samaaegselt.

Kasutatud materjal:

1. http://www.cut-the-knot.org/proofs/IntersectingChordsTheorem.shtml#RH

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s