Steineri teoreem


Steineri teoreem, nime saanud Jakob Steineri (1796 – 1863) järgi, on tavaliselt sees paljudes keskkooli geomeetria osa puudutavates õpikutes, kuid harva kannab ta seal oma õiget nime. Selles peatükis räägime kolmest teoreemist:

Teoreem: Lõikajate (secant) nende osade korrutised, mis on võetud lõikajate ühisest punktist lõikepunktideni ringjoonega, on võrdsed.

Seega tahame näidata, et PA · PB = PC · PD

Tõestus: Olgu meil antud ringjoon ja kaks lõikajat ühise punktiga P. Lõigaku nad ringjoont vastavalt punktides A, B, C, D. Tõmbame ringjoonele kõõlud AD ja BC. vastavate suhete kehtivuseks on mõtekas näidata, et vastavad kolmnurgad on sarnased. vaatamegi kolmnurki APD ja PBC. Näeme kohe, et neil on ühine tipp P, seega ka ühine nurk P.  Lisaks toetub nurk BAD samale kaarele, mis BCD. Teatavasti on samale kaarele toetuvad piirdenurgad võrdsed. Seega on kolmnurgad APD ja PBC tunnuse NN põhjal sarnased. Kirjutame välja vastavad külgede suhted:

Millest võrde põhiomadust kasutades järeldubki, et PA · PB = PC ·  PD #

Enne kui läheme Steineri teoreemi ühe erijuhu juurde, kus üks lõikajatest on hoopis ringi puutuja, tõestame ära teoreemi lõikajast ja kõõlust.

Teoreem puutujast ja kõõlust:
Puutepunkti tõmmatud kõõlu ja puutuja vaheline nurk on võrdne sellele kõõlule konstrueeritud piirdenurgaga.

Tõestus: Olgu meil antud ringjoon ning puutuja puutepunktiga C ning asugu punktid A ja B sellel puutujal nagu näidatud kõrvaloleval joonisel. Olgu puutepunkti konstrueeritud kõõl DC ning kõõlule konstrueeritud piirdenurk DEC. Peame näitama, et nurk DCB on võrdne nurgaga DEC.

  1. Joonistame kõõlu FD // AB
  2. Joonestame kiire CO ja olgu punkt G kõõlu FD ja kiire CO lõikepunkt.
  3. FD on risti CG-ga (sest OC on risti puutujaga AB)
  4. Nurk DFC on võrdne nurgaga DEC, sest nad toetuvad samale kaarele
  5. OF = OD (ringi raadius)
  6. Nurk OFG = nurgaga ODG , sest kolmnurk OFD on võrdhaarne
  7. Nurk FGO = nurgaga DGO = täisnurk, sest CG on risti FD-ga.
  8. Vastavalt punktidele 5,6,7 ja tunnuse NKN põhjal on kolmnurgad OFG ja ODG kongruentsed.
  9. FG = GD, punkti 8 põhjal
  10. Nurgad FGC ja DGC on täisnurgad vastavalt punktile 3.
  11. GC =GC
  12. Vastavalt punktidele 9, 10 ja 11 on kolmnurgad FGC ja DGC kongruentsed.
  13. Nurk DFC on võrdne FDC-ga, kui kongruentsete kolmnurkade vastavad nurgad.
  14. Nurk FDC on võrdne nurgaga DCB, kui paar võrdseid sisemisi põiknurkasid (alternate interior angles).
  15. Vastavalt punktidele 4, 13, 14 on nurgad DCB ja DEB võrdsed.

Sellel on olemas tegelikult palju lihtsam tõestus.

Tõestus#2

Olgu meil antud siis ringjoon keskpunktiga O raadiusega OA ja puutugu sirge s seda ringjoont punktis A. Peame näitama, et \alpha = \alpha'. Teame, et ringjoone raadius on risti puutujaga ( tuleb nurgapoolitja omadusest). Järelikult on OA \bot s. Nurk  \beta on avaldatav siis  kujul \beta=90^\circ-\alpha.  Kuna OA= OB kui ringjoone raadius, siis on kolmnurk OAB võrdhaarne. Järelikult on alusnurgad võrdsed ehk \beta = \beta'. Kuidas avaldub siis kolmnurga nurk BOA, mis on ühtlasi selle ringjoone kesknurgaks

180^\circ - [2(90^\circ-\alpha)]= 180^\circ - 180^\circ + 2\alpha=2\alpha

Kuna piirdenurk on pool kesknurgast, siis järelikult ongi  \alpha = \alpha' \clubsuit

Läheme nüüd Steineri teoreemi erijuhu juurde.

Teoreem lõikajast ja puutujast: Kui väljaspool ringjoont võetud punktist on ringjoonele tõmmatud lõikaja ja puutuja, siis puutuja lõik antud punktist puutepunktini on keskmine võrdeline lõikaja osadele, mis on võetud antud punktist lõikepunktideni ringjoonega.

Tõestus: Olgu meil antud ringjoon, lõikaja ACD ja puutuja AB. Peame näitama, et

AB²=AC · AD

  1. Nurk CAB on võrdne nurgaga BAD (sama nurk)
  2. Nurk CBA on võrdne nurgaga BDA vastavalt eelnevalt tõestatud teoreemile puutujast ja kõõlust
  3. Järelikult on tunnuse NN põhjal kolmnurk ACB sarnane kolmnurgaga ADB
  4. Siit saame kolmnurkade sarnasuse põhjal, et AB: AD = AC: AB, millest AB²=AC · AD

Materjale

Pealkiri: Circles, Tangent-Chord Theorem, Intersecting Chord Theorem and Tangent-secant Theorem
Alapealkiri:
Autor:
Faili tüüp: pdf
Maht: 8lk

———————————————————————————————
Meta: Ringjoon, raadius, diameeter, kõõl, kesknurk, postulaat, järeldus, puutuja, teoreem puutujast ja kõõlust, lõikaja, piirdenurk

Pealkiri: Nurgad, ringid, hulknurgad
Alapealkiri:
Autor:
Faili tüüp: pdf
Maht: 6 lk

———————————————————————————————-
Meta: ülesanded, kesknurk, piirdenurk, teoreem lõikuvatest kõõludest, teoreem lõikajalõikudest e. Steineri teoreem, teoreem puutujalõigust ja lõikajalõikudest,

Kasutatud materjalid:

  1. http://jwilson.coe.uga.edu/EMT669/Student.Folders/Jones.June/steiner/steinerthm.html

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s