Eukleidese teoreem


Andsin esmalt Eukleidese tõestuse Steineri teoreemi kaudu. See tuli küll välja, aga kui hakata ajalooliselt mõtlema, siis Eukleides elas ikka mitu sada aastat varem. Kuidas tema seda tegi ?

Eukleidese teoreem

Täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline.

Järelikult peame näitama, et a^2=cf ja b^2=cg, kus f ja g on siis nende kaatetite ristprojektsioonid.

Vaatleme täisnurkset kolmnurka ABC. \angle DBA = \angle DCB, sest mõlemad on 90^\circ - \angle DAB.  Analoogsel põhjusel on \angle BAD = \angle CBD. Järelikult on kolm sarnast kolmnurka, ehk

\triangle ABD \sim \triangle BDC \sim\triangle ABC

Vaatleme esmalt seost \triangle ABD\sim \triangle ABC . Me saame välja kirjutada tänu sarnasusele vastavate külgede suhted

\frac{b}{c} =\frac{g}{b} \Rightarrow b^2=cg

Oleme saanud kätte ühe tulemuse Eukleidese teoreemist. Teise suhte saamiseks vaatame sarnasust \triangle BDC\sim \triangle ABC

\frac{a}{c} =\frac{f}{a} \Rightarrow a^2=fg

Nii, et Eukleidese teoreem tõestatud. Järgnev on siis tõestus Steineri teoreemi kaudu. Kes enam teisest tõestusest ei hooli, siis ilus jätk oleks pöörduda Pythagorase teoreemi tõestuse juurde, sest Eukleides tegi need järeldused just omadest tulemustest.

Alustaks oma kirjutist lausega, mis võib paljusid kooligeomeetrias välja aidata: See mis kehtib iga kolmnurga korral, kehtib kindlasti ka täisnurkse kolmnurga korral. Nii on ka Eukleidese teoreemiga:

Tegu on vahetu järeldusega teoreemis lõikajast ja puutujast, mis väitis :

Kui väljaspool ringjoont võetud punktist on ringjoonele tõmmatud lõikaja ja puutuja, siis puutuja lõik antud punktist puutepunktini on keskmine võrdeline lõikaja osadele, mis on võetud antud punktist lõikepunktideni ringjoonega.

See aga on meil juba tõestatud.

Nüüd oleks sobilik lisada ka millised seosed siis valitsevad tõestatud teoreemide vahel, millised on vahetud järeldused ja erijuhud ning kus saab tõestamisel mõnda eelnevat teoreemi kasutada.

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s