Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest


Teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest

Täisnurkse kolmnurga kõrgus on hüpotenuusil võetud kaatetite projektsioonide keskmine võrdeline

Antud joonise järgi tähendaks see, et

BC²=DC · AC

Tõestus #1: Olgu kolmnurk DBA täisnurkne. Joonestame läbi punktide DB ringjoone. Kuna AB on joonestatud ringjoone puutuja ja keskpunktist tõmmatud raadius on puutujaga risti ja seega läbib ka kõõl DB keskpunkti, siis vastavalt ringjoone diameetri definitsioonile on kõõl  DB ringjoone diameeter.

Tõestus on tegelikult tänu varem tõestatud teoreemile puutujast ja kõõlust lihtne. Et siduda kõrgus kuidagi nende otsitavate suurustega, proovime näidata, et kolmnurgad DCB ja CAB on sarnased. Nad on mõlemad täisnurksed, sest vastavalt Thalese teoreemile on ringjoone diameetrile toetuv piirdenurk täisnurk. Vastavalt teoreemile puutujast ja kõõlust on nurgad ABC ja BDC võrdsed. Seega tunnuse NN põhjal on kolmnurgad DCB ja CAB sarnased. Kirjutame välja vastavate külgede suhted:

BC/DC = CA/BC

  • väike vihje neile, kellel see kolmnurga pööramine eriti hästi välja ei tule ja kuidagi ei saa aru, millised vastavad küljed on. Vaadake, milliste nurkade vastu või vahele see külg jääb. Näiteks antud joonise põhjal jääb külg BC väiksemas kolmnurgas oranžiga tähistatud nurga vastu, suuremas kolmnurgas on oranži nurga vastas AC. Väiksemas kolmnurgas jääb oranži ja täisnurga vahele külg DC, suures kolmnurgas jääb täisnurga ja oranži nurga vahele BC ja saategi vastavad küljed kätte.

Võrde põhiomadusest saamegi nüüd seosest

BC/DC = CA/BC     =>      BC²=DC · AC

Tõestus #2:

Kellele võib olla see teise teoreemi kaudu tõestamine eriti ei meeldi, siis pakun ka otsese tõestuse välja.

Olgu meil antud täisnurkne kolmnurk ABC ja olgu DC sellele joonestatud kõrgus. Tähistame nurga ACD tähisega β. Siis nurk β = 90°- α . Vaatame kolmnurka ABC, siis nurk CBA avaldub kujul 90°- α = β. Järelikult tunnuse NN põhjal on kolmnurgad ACD ja CDB sarnased. Jääb üle kirjutada välja vastavad suhted:

CD/DB = AD/CD   =>   CD²= AD · DB

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s