Üks väike jutuke täisnurkse kolmnurga siseringjoonest


See ülesanne käib läbi kindlasti paljudest keskkoolidest ja võib võtta vahepeal juhtme kokku.

ÜLESANNE

Avalda täisnurkse kolmnurga (right triangle) siseringjoone raadius täisnurkse kolmnurga külgede a, b ja c kaudu.

Tähistame siis kolmnurga küljed vastavalt tähtedega a, b ja c. Nüüd konstrueerime siseringjoone. Selleks konstrueerime nurgapoolitajad (angle bisector) ja leiame nende lõikepunkti. See ongi siseringjoone keskpunktiks. Edasi joonestame välja raadiused. Need on risti külgedega, sest külgi võib vaadelda ka kui siseringjoone puutujaid ja raadiused on risti puutujatega. Kui oleme raadiused välja joonestanud, avaldame vastavad jupid külgede kaudu. Nüüd vaadake natuke joonist. Miks on hüpotenuusil olev a-r võrdne haaral a oleva a-r´ga.  See tuleb tegelikult nurgapoolitja omadusest. Nimelt tekitab see kaks kongruentset kolmnurka ja kongruentsetes kolmnurkades on vastavad küljed võrdsed. Kuidas nüüd c avaldub.

c = b – r + a – r , millest

c = b + a – 2r, millest

2r = a + b – c, millest

r=\frac {a + b - c}{2}

Aplaus, oleme avaldanud täisnurkse kolmnurga siseringjoone raadiuse tema külgede kaudu.

Seda saab teha ka tegelikult üldisest valemist. Nimelt kehtib iga suvalise kolmnurga puhul

S = pr , kus p on pool ümbermõõtu ja S on pindala

r = \frac{S}{p}

r= \frac{\frac{ab}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}

r = \frac{ab}{a+b+c}

Kehtib samuti. Kes ei usus, pange arvud asemele ja proovige.

—————–

meta: siseringjoon, siseringjoone raadius, täisnurkne kolmnurk, nurgapoolitaja


2 thoughts on “Üks väike jutuke täisnurkse kolmnurga siseringjoonest

  1. Tänud vastukaja eest. Üritab tasapisi veel seda elementaarmatemaatikat üles panna.

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s