Viete valemid kuup- ja ruutvõrrandi lahendamisel


Koolis paljastatakse usinamatele õpilastele saladus, et ruutvõrrandi lahendamisel ei pea alati lahendama seda monstrum valemit (jutt käib siis taandatud ruutvõrrandist), vaid saab ka Viete valemitega. Mis need on ja kus need tulevad?

Ruutvõrrandi x^2+px+q näeb tegurdatud kujul välja (x-a)(x-b) , kus a ja b on mingid reaalarvud. Kuidas see tuleb? Korrutame siis need kaks sulgu omavahel läbi:

(x-a)(x-b) = x^2-bx-ax+ab =x^2+(-b-a)x+ab

Siit saame , et (-b-a)=p ja ab=q , millest esimest -1 läbi jagades saame, et a+b=-p   ja ab=q . Ongi Viete valemid olemas.

Tavaliselt on vaja lahendada taandatud võrrand x^2+px+q=0 . Kui see nii ei ole, saab selle antud kujule viia. Selle võib ju lahti kirjutada kujul (x-a)(x-b)=0 .

Milliseid järeldusi saab siit siis teha?

Millal on korrutis 0? Siis kui üks teguritest on null. Ja millal see antud juhul kehtib? Kui x on võrdne kas a või b-ga. Kui me vaatame nüüd vabaliiget q, siis see koosneb a ja b korrutisest, ehk q tegurid on a ja b. Seega annab q meile mingid lahendid kätte. Kuna neid võib olla mitu, on vaja kontrollida see üle seosega a+b=-p . Seega hakake lahendeid otsima vabaliikme tegurite hulgast ja kontrollima üle a+b=-p summaga.

Näide: Olgu meil antud ruutvõrrand x^2-7x+12=0 . Siin on p=7 ja q=12 . Vaatame q tegureid. 12=1\cdot12=2\cdot6=3\cdot4 ja lisaks veel variandid, kus mõlemad on miinusmärgiga. Seega potensiaalseteks lahenditeks on paarid (1;12), (-1;-12), (2;6), (-2;-6), (3,4) (-3,-4). Läbiproovides annab summaks seitse ainult paar (3,4)

Kuupvõrrandi puhul on valemite tuletuskäik analoogne. Peale sulgude korrutamist ja tegurdamist saame, et

x^3+(-a-b-c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc .

Nagu näha võib, peituvad lahendid vabaliikmeks. Kuna variante tekib päris palju, siis otsitakse tavaliselt ainult üks ja proovitakse Horneri skeemiga astme alandamisega viia kuupvõrrandi lahendamine ruutvõrrandi lahendamise ülesandeks.

Kuid kui kuupvõrrand on kujul x^3+p_{1} x^2+p_{2}x+p_{3} = 0 , siis Viete valemid avalduvad kujul:

a+b+c =-p_1

ab+ac+bc = p_2

abc=-p_3

Nii, et tegelikult saab ka kõik kuupvõrrandi lahendid kätte, kui lahendada vastav võrrandisüsteem. See ei pruugi olla lihtne, aga on võimalik.

—————

Meta: Kuupvõrrand, ruutvõrrand, Viete, kuupvõrrandi lahendamine, ruutvõrrandi lahendamine, polünoom, ühe tundmatuga ruutvõrrand

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s