Tõestus, et ruutjuur kahest on irratsionaalarv.


Kuidas me teame, et ruutjuur kahest on irratsionaalarv? Teisisõnu, kuidas me teame, et \sqrt{2} pole kümnendmurruna mingisugust loogilist mustrit? Äkki see muster on väga hästi varjatud ja tuleb välja alles peale miljonit kohta? Või kui me vaatame peale miljonit ja esimest kohta, äkki tuleb muster veel hiljem välja?

Siinkohal tuleb mängu matemaatiline tõestus. Seda ei tõestata arvutitega. Kasutatakse hoopis vastuväitelist tõestust. Tegelikult seda võib tuua täiesti näidistõestuseks. Siin on arutlus ilusti olemas ja tõestus on lihtsasti jälgitav. Esitamegi siis tõestuse.

Tõestada, et \sqrt{2} on irratsionaalarv.

Oletame väite vastaselt, et \sqrt{2} on ratsionaalarv. Siis saame kirjutada \sqrt{2}=\frac{a}{b}, kus a ja b on täisarvud ja b on nullist erinev. Oletame, et \frac{a}{b} on ühisteguriteta. Ühisteguriteta tähendab seda, et ta on juba nii palju taandatud kui võimalik. Kui ta ei oleks ühisteguriteta, siis leiduks neil peale 1 veel mingisugune tegur, millega läbi taandades saaksime selle murru viia ikka kujule, kus ta on ühisteguriteta.

Siit saab järeldada, et 2=\frac{a^2}{b^2} ja a^2=2b^2 . Seega a^2 on mingisugune paarisarv,sest ta on kaks korda midagi. Siit saame teada, et a ise on samuti paarisarv. Miks? See ei saa olla paaritu, sest paaritu arv korda paaritu arv teevad kokku paaritu. Kui a on paaritu, oleks ka a \cdot a paaritu.

Kui a on nüüd paaris arv, siis ta ise avaldub kujul a=2k , kus k on mingisugune täisarv. Meil ei ole vaja hakata arutama, mis see k täpselt on, sest varsti jõuame vastuoluni.

Kui me asendame nüüd a=2k originaalvõrrandisse 2=\frac{a^2}{b^2} , saame järgneva:

2=\frac{(2k)^2}{b^2}

2=\frac{4k^2}{b^2}

2b^2=4k^2

b^2=2k^2

See tähendab, et b^2 on paarisarv, millest analoogse arutlusega järeldub, et b on paarisarv!!

KUIDAS on see vastuolu? Me alustasime väitest, et murd \frac{a}{b} on ühisteguriteta. Ja nüüd jõudsime välja selleni, et nii a kui b on paarisarvud, seega on neil kindlasti olemas ühistegur 2. Seega esialgne väide ei kehti ja \sqrt{2} ei saa olla ratsionaalarv.

Kasutatud materjal:

http://www.homeschoolmath.net/teaching/proof_square_root_2_irrational.php

————————————-

Meta: ruutjuur kaks, irratsionaalarv,  vastuväiteline tõestus, kuidas tõestada vastuväiteliselt,

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s