Kuidas leiavad arvutid siinusfunktsiooni väärtusi?


Mis täpselt juhtub siis, kui ma tipin oma taskuarvutisse sisse siinusfunktsiooni (või koosinuse või tangensi ) koos nurgaga? Ma tipin selle sisse ja arvuti annab mulle imelisel moel arvu, mis pole esialgse nurgaga kuidagi seoses. Kas arvuti võtab selles kuskilt nimekirjast, mille mingid inimesed on nii täpselt ära mõõtnud või on olemas matemaatiline funktsioon selle arvutamiseks?

Kalkulaatur või kompuuter ei loe tegelikult mingisugust nimekirja kuid nad tõesti kasutavad algoritmi mis annab siinuse ja antud nurga ligikaudse väärtuse. Neid algoritme on tegelikult mitmeid. Mitmeid kordi kasutatakse ainult nelja baasoperatsiooni (+, -, x, /) , et leida siinus või koosinus või tangens antud nurgast.

Üks võimalus on kasutada Taylori rida

Mis on Taylori rida?

Olgu meil anftud funktsioon f(x). Funktsiooni f(x) jaoks on Taylori rida järgnev:

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2+\frac{f'''(x)}{3!}h^3+\ldots=\sum_{i=1}^{\infty}f^{i}(x)\frac{h^i}{i!}

Mida rohkem liikmeid võtame, seda täpsema tulemuse saame. i märgib siis siinkohal tuletise arvu. Tegelikult tehakse asja veel lihtsamaks. Arvutid kasutavad Taylori rea erivarianti – Maclaurini rida. Mis see on ? nagu öeldud, on see Taylori rea erijuht. Siin võetakse lihtsalt x=0 . Näiteks funktsiooni \sin(x) arendus Maclaurini reaks näeb välja järgnev.

\sin(x)= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots

Võtame siis kokku ka, mis moodi asi käib.

  1. Õpilane sisestab arvutisse sin 35°
  2. Arvuti teeb selle ümber radiaanideks ja saab 35/180 = 0.194(4)
  3. See väärtus x=0.194(4) asendatakse arvutisse programmeeritud Maclaurini ritta
  4. Arvuti teeb vastav tehte ja annab vastuseks 0.57357..

Keda huvitab rohkem antud asi, võib uurida allolevaid materjale. Seal on ilusti ära toodud, mis moodi toimub täpselt selle siinusfunktsiooni tuletamine ja ka erinevaid näiteid Taylori valemi paremaks mõistmiseks.

Pealkiri: Taylori teoreemi taaskülastus
Alapealkiri:
Autor: Autar Kaw
Faili tüüp: pdf
Maht: 8 lk

———————–

Meta: Taylori rida, Maclaurini rida, näiteid Taylori reast, Maclaurini rea arendamine, vea arvutamine, numbrilised meetodid

Kasutatud materjalid:

http://www.homeschoolmath.net/teaching/sine_calculator.php

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s