Numbrite summeerimne (visuaalne seletus)


Lugu Gaussist. Gaussil oli laisk õpetaja ja ta tahtis oma õpilasi lihtsalt mõttetult töös hoida. Seega lasi ta oma õpilastel summeerida numbrid 1-st 100-ni. Gauss vastas kohe, et vastus on 5050. Õpetaja kahtlustas teda petmises, aga Gauss teadis hoopis valemti kuidas kiiresti summat arvutada.

Summa  1-st n-ni = n*(n+1)/2

Kuidas sellest valemist aga intutitiivselt ja lihtsamalt aru saada. Mitte lihtsalt valemit pähe õppida.

1. Paaris numbrid

Kirjutame numbrid 1-st 10-ni kujul:

1  2  3  4  5

10 9  8  7  6

Näeme, et iga paari summa on sama(antud juhul 11) Ülemise rea suurenedes,

alumine rida väheneb.

Seega iga veeru summa on n+1. Kuna meil on pikkuselt kaks võrdset rida,

näeme, et paaride arv on n/2.

Siit ka summa : n*(n+1)/2

Mis aga kui meil on paaritu arv liikmeid. Nt. 9 liiget.

Siis lisame algusesse 0-i ja saame:

0  1  2  3  4

9  8  7  6  5

Nüüd on aga iga paari summa n, mitte n+1 nagu ennem.

Kuna aga meil on tegemist nüüd n+1 liikmega kahes reas,

saame ikkagi valemi kujul: n*(n+1)/2

On ka teine võimalus:

Kirjutame kõik numbrid kahte ritta nö. peegelpildis.

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10

10 9  8  7  6  5  4  3  2  1

Saame jällegi valemi: n*(n+1)/2

See töötab nii paaris- kui ka paaritute arvude puhul.

2. Teeme ristküliku.

Numbrite asemel kasutame nt lihtsalt x-e.

Paneme arvud 1-5 kirja kujul:

x

x x

x x x

x x x x

x x x x x

Tulemust peegeldades saame.

x                 o      x o o o o o
x x             o o      x x o o o o
x x x         o o o  =>  x x x o o o
x x x x     o o o o      x x x x o o
x x x x x o o o o o      x x x x x o

Näeme, et saadud ristküliku pindala on võrdne (n+1)*n.
Kuna näeme, et kõige alumises reas on 5x ja 1o. Teine ristküliku serv jääb aga samaks.

Kuna meid huvitab siiski vaid x-de summa, jagme saadud tulemuse 2-ga ja saame jällegi sama valemi.

3. Keskmise teel

Teame, et keskmine = summa/elementide arv, millest järeldub
summa=keskmine*elementide arv

Arvud on nii öelda võrdselt jaotunud: iga väikse arvu kohta on ka suur arv, rea lõpus.
Arvude 1,2,3 keskmine on 2.
Arvude 1,2,3,4 keskmine on 2,5.
Näeme, et 1 on alati keskmisest sama kaugel kui n.
Seega võime keskmise kirja panna (1+n)/2
Ja seega summa=(1+n)/2*n.

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s