Euleri valem täisnurkse kolmnurga puhul


Netist seda valemit nii kergelt ei leia. Euler oli produktiivne mees ja pigem tuntakse tema valemeid rohkem Algebras kui geomeetrias. Ülesanne on tegelikult kergesti arusaadav.

Avaldada täisnurkse kolmnurga siseringjoone ja ümberringjoone keskpunktide vaheline kaugus sise- ja ümberringjoone raadiuste r ja R kaudu.

Kui kellelgi on meelest ära läinud, kuidas neid ringjooni saadi või kus keskpunkt asub, siis mõned meeldetuletused:

  • Siseringjoone keskpunkt asub nurgapoolitajate lõikepunktis
  • Ümberringjoone keskpunkt on täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi keskpunktiks

Rohkem polegi vist vaja teada. Seega esialgne joonis näeb välja järgnev:

Punane lõik on see, mille pikkust leidma hakkame. Joonist on vaja täiendada natuke. Ümberringjoone keskpunkt asus hüpotennusi keskpunktist. Siit saame konstrueerida sellest punktist lähtuvad kolmnurga kesklõigud. Joonestame ka välja siseringjoone raadiused ja pikendame neist ühte, et see lõikuks hüpotenuusi.

Päris palju toiminguid, mida vaja teha ja peas ette kujutada. Kui ei saanud päris täpselt aru, siis vaadake järgnevat joonist, et mida me pikendasime ja mida me juurde joonistasime.

Nii, ärme unusta eesmärki, milleks oli kaugus kahe ringjoone keskpunkti vahel. Keskpunkt d avaldub selle punase kolmnurga külgede kaudu 8 mille tähistasin vastavalt x ja y. See on tegelikult täisnurkne kolmnurk, sest raadiused on risti vastavate nurga haaradega ja kesklõigud on samuti paralleelsed vastavate alustega. Siit saame, et d^2=x^2+y^2. Nüüd edasi oleks vaja avaldada kuidagi x ja y. Tänu alust a poolitavale kesklõigule ja küljesuurusega r olevale ruudule, avaldub x kujul x=\frac{a}{2}-r. Sabasuguse ideega saame avaldada ka y. Ainult nüüd külje b kaudu. y=\frac{b}{2}-r. Siit:

d^2=x^2+y^2=(\frac{a}{2}-r)^2+(\frac{b}{2}-r)^2=\frac{a^2}{4}-ar+r^2+\frac{b^2}{4}-br+r^2=\frac{a^2+b^2}{4}+2r^2-ar-br=R^2+2r^2-r(a+b)=R^2+r(2r-a-b)

Kes vahepeal aru ei saanud, kuidas a-st ja b-st järsku R sai, siis a^2+b^2=c^2 \Rightarrow c^2=4R^2, sest c =2R.

Nüüd pean ma kuskilt foorumisügavustest kaevama üles postituse, kus avaldasime täisnurkse kolmnurga siseringjoone raadiuse külgede kaudu:

Üks väike jutuke täisnurkse kolmnurga siseringjoonest

Sa vahi, kus seda vaja läheb🙂. Ok, sealt saime valemiks r=\frac{a+b-c}{2} \Rightarrow 2r=a+b-c

Nüüd saame oma asja edasi teha: \ldots R^2+r(2r-a-b)=R^2+r(a+b-c-a-b)= R^2-rc=R^2-2Rr ehk lõplikult:

d(r,R)=R^2-2Rr

————————————————————————

Meta: Euler, täisnurkne kolmnurk, siseringjoon, ümberringjoon, hüpotenuus, kesklõik, ümberringjoone raadius, siseringjoone raadius, keskpunkt.

5 thoughts on “Euleri valem täisnurkse kolmnurga puhul

  1. oojee, ma just puudusin eelmine el mata loeng, kui see teema vist oli, ja nüüd kohe saan siit võtta🙂
    tänks!

  2. Proovin mingi aeg üldjuhu ka üles panna😀 ja Tauno võiks selle Simssoni sirge tõestuse ka üles panna

  3. Taunts võiks küll jah, see on siuke hea lihtne lühike tõestus millest alustada😀😀

  4. Kaido, siin ühes kohas vist üks väike viga. Lõpus, kus Sul on R^2+r, seal peaks tegelikult olema R^2-cr.

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s