Simsoni sirge


Tegelikult on nende jooniste tegemine hirmus tüütu. Kui keegi teeks need minu eest ära, oleksin hirmtänulik.  Kuid kuna hetkel abijõude võtta pole, pusisin selle joonise ise valmis. Ülesanne järgnev:

Kolmnurga ABC ümberringjoonel olev punkt P nihkub seal kaare PP_1 võrra. Näidake, et punktide P ja P_1 poolt määratud Simsoni sirged moodustavad nurga, mis vastab kaarele 0,5PP_1

Nagu näha, on joonis päris keeruline. Ega muud moodi aru saa, kui hakata otsast arutama. esitan selle tõestuse punkt haaval.

SELGITUSEKS: Need sirged, millest räägime on roheline ja oranž. saadud nii, et igale kolmnurga küljele on tehtud ristprojektsioon ja siis külje ja projektsiooni lõikepunktid ühendatud.  Nii tehtud mõlemast punktist P ja P_1. Põhimõtteliselt peame näitama, et \alpha  ja \delta on võrdsed. Panin joonisele kraadid juurde ja nagu näha nad on. vaja veel tõestada, et miks nad on.

  1. See \alpha ei teki sinna nii sama. Algset joonist on vaja natuke täiendada. Joonestada lõigud P_1C ja PC. Siis nurk P_1CP on \alpha. Nurk PCB on \beta ja \alpha + \beta = \gamma
  2. Järgmine võtmemoment on märgata, et punktid P_1FEC asuvad ühel ringjoonel. Miks? \triangle P_1FC on täisnurkne hüpotenuusiga P_1C ja \triangle P_1EC on täisnurkne hüpotenuusiga P_1C. Kes veel aru ei saanud, meenutage Thalese teoreemi. Joonis näitab hästi, et kui täisnurksel kolmnurkadel on ühine hüpotenuus, siis see tipp asub samal ringjoonel.
  3. See ringjoon andis meile juurde niipalju, et nurk P_1EF asub nurgaga \gamma samal kaarel ja on seeläbi võrdne. Tähistame siis uue nurga tähisega \gamma_1
  4. Järgnevalt kisub asi veel põnevamaks. Võtame mängu paralleelsed lõigud. DP \parallel EP_1 ja seda lõigatakse selle rohelise Simsoni sirgega. Kindlasti tekib mingeid võrdseid nurkasid. Ja tekibki: \gamma_1 = \epsilon (põiknurgad)
  5. Nüüd kasutame uuesti sama trikki, mis punktis 2. Läbi punktide PGDC saab joonestada ringjoone.  PC on hüpotenuus ja \triangle PGC ning \triangle PDC on täisnurksed. Kellele segaseks on jäänud, miks nad ikkagi on täisnurksed, siis tegu on ristprojektsioonidega.
  6. Nurk GDP on võrne nurgaga \beta. Tähistame selle \beta_1. Põhjuseks toetumine samale ringjoone kaarele.
  7. Grande finale Vaatame kolmnurka JKD. \epsilon on selle kolmnurga välisnurk. , seega \epsilon = \beta_1 + \delta ( kolmnurga välisnurga omadus, millest ma ka veel kirjutanud pole siin blogis. tegelt hea omadus ) ja \epsilon = \gamma_1 = \gamma = \alpha + \ beta, seega \beta_1 + \delta = \beta + \alpha. Kuna \beta_1=\beta, siis \alpha =\delta \clubsuit.

—————————————————————————

Meta:  Simsoni sirge, simsoni sirgete vaheline nurk, ringjoon läbi nelja punkti, ühiste hüpotenuusidega täisnurksed kolmnurgad

One thought on “Simsoni sirge

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s