Horneri skeem

Kaido 1 kommentaar

William George Horner (1786 – 22.09.1837). Tegu oli inglise matemaatiku ja koolmeistriga. Sündis Inglismaal Bristolis.  Elas tavalist tagasihoidlikku matemaatiku elu. Hariduse sai Kingswoodi koolis, mis Bristoli lähedal. 16. aastaselt sai temast juba õppejõu abi ja nelja aastaga tõusis ta juba ise õppejõuks (1806). Aastal 1809 lahkus ta sellest koolist, et rajada enda oma Grosvenor Places, Bathis. Seda pidas ta kuni surmani – 22. september 1837.

Horneri meetod ( kutsutakse ka vahel Horneri skeemiks või Horneri algoritmiks) on efektiivne tee polünoomide väärtuste leidmiseks mingil kohal. Lisaks võimaldab see viia keerulised kõrge astme polnünoomid mingite lineaarsete polünoomide korrutiseks. Koolis kasutatakse seda poünoomi järgu alandamiseks. Hakkame siis otsast peale vaatama, mida see kujutab ja kuidas kõik töötab.

0- astme polünoom: P(x)=a_{0} (konstantne polünoom)

1- astme polünoom: P(X)=a_{1}x+a_0 (lineaarne polünoom)

2-astme polünoom: P(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_0, toome x sulgude ette ja võime tegelikult lahti kirjutada P(X)=(a_{2}x+a_{1})x+a_0

3-astme polünoom: P(x)=a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}, seda saame hakata lammutama nüüd. Toome ka sulgude ette:

P(x)=(a_{3}x^2+a_{2}x+a_{1})x+a_{0} ja veelkord võtame sulgude ette: P(x)=(a_{3}x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}. Kirjutades kompaksemalt on siis polünoom P(x)=a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0} avaldatav kujul P(x)=((a_{3}x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.

Nagu näha jäid järgi ainult lineaarsed polünoomid

Põhimõtteliselt saab teha nii igasuguste astmetega polünoomidega. See on kõik teooria, aga kuidas seda praktikas rakendada.

Arvuta polünoomi P(x)=5x^4-7x^3+4x^2+3x+2 väärtus kohal x=3.

Lammutame ta kõigepealt laiali. hetkel on hea, et see x on ainult kolm, aga kui oleks see näiteks 12 või 24, siis nenid neljandasse astmesse tõsta on juba tegu. Ok,lammutus alaku P(x)=(((5x-7)x+4)x+3)x+2. Arvutus käiks siis nii: 5\cdot 3 +(-7)=8 järgmine sulg 8\cdot 3 +4)=28, siis järgmine sulg 28\cdot 3 +3)=87 ja viimane tehe 87\cdot 3 +2=263 Selle polünoomi väärtus kohal 3 on 263. Täitsa peast arvutatav. Graafiliselt ka :

Põhiline rakendus koolis on kuupvõrrandi lahendamisel. See lahendamine tähendab siis kuupvõrrandi nullkohtade leidmist.  Esmalt otsitakse välja üks nullkoht, seda tehakse siis vaadates kuupvõrrandi vabaliikme tegureid. Miks ja kuidas, vaadake postitust Viete valemitest. Kui see lahend leitud, siis alandatakse läbi Horneri skeemi kuupvõrrandi järku. Järgu alandamine toimub vastava polünoomiga läbijagamise teel. Võib olla kunagi hiljem hakkan seda asja keeruliseks ajama. Ütleme nii, et selle skeemi teoreetiline kasutamine polünoomide jagamisel ja siia blogisse kirjutamine pole eriti lihtne. Miks nii saab, järeldub Bezouti teoreemis. Horneri skeemi täpsem praktiline kasutamine on toodud ära järgnevates materjalides. Seal on ka kirjas, kuidas siis see järgu alandamine käib.

Pealkiri: Algebraliste võrrandite lahendamine, abistavad näpunäited
Alapealkiri: Horneri skeem, täisruuduks teisendamine
Autor:
Faili tüüp: pdf
Maht: 4lk

Fail sisaldab: Kuupvõrrandi järgu alandamine Horneri skeemi abil ja selle lahendamine, täisruudu eraldamine, neljanda astme võrrandi teisendamine täisruuduks, neljanda astme sümmeetrilise võrrandi lahendamine,

Viited:
http://www2.lv.psu.edu/ojj/courses/cmpsc-201/numerical/horners.html
http://knol.google.com/k/using-horner-to-evaluate-polynomial-functions#
————————————————–
Meta: kuupvõrrandi lahendamine, Horneri skeem, algebraline võrrand, kuupvõrrand, polünoom, polunoomi juur, polünoomi jagamine, Bezout, polunoomi väärtus, nullkoht, järgu alandamine,

Üks kommentaar “Horneri skeem”

Lisa kommentaar