Wallace-Simsoni teoreem


Joonistage suvalise kolmnurga ümberringjoon. Valige sellel mingi punkt P ja projekteerige see punkt kõigile kolmnurga külgedele ( või külgede pikendustele).

Wallace – Simsoni teoreem – kolmnurga ABC ümberringjoone mistahes punktist P kolmnurga külgedele või nende pikendustele tõmmatud ristlõikude aluspunktid paiknevad ühel ning samal sirgel (nn. Simsoni sirgel).

Mida me peaksime tegelikult näitama hakkama. Üldiselt olen ma vähekogenud igasuguste “punkid asuvad ühel sirgel” näitamistega, aga meenub ükss definitsioon.

Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused.

Definistioonist on tuletatud kohe omadus, et kahe sirge lõikumisel tekib üks paar teravnurkseid tippnurki ja üks paar nürinurkseid tippnurki. Või neli täisnurka. Sirge Lõik CA on kolmnurga külg ja läbib punkti V, seega CVA asuvad ühel sirgel. Kui näitame, et \angle WVA =\angle UVC , järeldub sealt kohe, et UVW peavad asuma ühel sirgel.

Tõestus: Kuna PW on risti BW-ga ja PU on risti BU-ga, siis tõmmates lõigu PB tekib kaks ühise hüpotenuusiga täisnurkset kolmnurka. Siit järeldub, et punkt P asub \triangle BWU ümberringjoonel.

Skitseerige õrn lõiguke PA ja otsige sama moodi sama hüptenuusiga täisnurkseid kolmnurkasid. \triangle PWA ja \triangle PVA oleksid seekord need ja P asub seetõttu \triangle AWV ümberringjoonel.

Samal põhjusel asub ta ka \triangle CUV ümberringjoonel.

Siit saame järeldada, et PUBW , PUCV ja PVWA on kõõlnelinurgad (cyclic quadrilaterals).

Kuna PUBW on kõõlnelinurk, saame, et

\angle UPW = 180^\circ - \angle UBW

millest järeldub

\angle UPW = 180^\circ - \angle CBA

Samuti on CPAB kõõlnelinurk ( algne konstruktsioon)

\angle CPA = 180^\circ - \angle CBA

Millest järeldub, et

\angle CPA = \angle UPW

Lahutades mõlemast poolest \angle CPW , saame et

\angle UPC =\angle WPA

Kuna PVWA on kõõlnelinurk, siis

\angle WPA = \angle WVA (toetuvad samale kaarele)

Kuna PUCV on kõõlnelinurk, siis

\angle UPC = \angle UVC,

Ehk kombineerides neid eelmiste tulemustega saame, et

\angle WVA =\angle UVC

\clubsuit

Selline nägi lõplik joonis välja

Viited

Abel, E, Abel, M., Kaasik, Ü. (2006) koolimatemaatika entsüklopeedia

http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfSimsonsLine.html

Meta

Simsoni sirge tõestus, Wallace Simsoni teoreem, kõõlnelinurk,

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s