Absoluutväärtus


DEFINITSIOON Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse arvu , mis rahuldab tingimust

|a|=\begin{cases} a, kui\, a\geq 0\\ -a, kui\, a<0\\\end{cases}

Esimest korda kasutas absoluutväärtuse tähisena kahte püstkriipsu Karl Weierstrass (1815-1897) 1841. aasta essees “Zur Theorie der Potenzreihen”. Reaalarvu absoluutväärtus analüütilises geomeetrias tähendab sellele arvule vastava punkti kaugus nullpunktist arvsirgel. Selle paremaks selgitamiseks vaatame joonist 1.

Joonis 1  Reaalarvude 6 ja -6 absoluutväärtuse kujutamine arvteljel

Sageli tekib probleeme absoluutväärtuse definitsiooni lugemise ja rakendamisega. Absoluutväärtuse definitsioon on sellepärast eriline ja raske, et selle rakendamine hakkab tegelikult hoopis definitsiooni lõpust. Proovime joonise 1 abil siia natuke selgust tuua. Joonisel on kujutatud reaalarvude 6 ja  -6 absoluutväärtuse geomeetriline esitus. Vaatleme esmalt joonise vastavust definitsioonile 6 korral. Definitsiooni esimeseks tähtsaks tingimuseks on tegelikult lausejupp kui\, a\geq 0 või kui\, a<0 . Järelikult peame esmalt kindlaks tegema, milline on arvu a suhe arvuga 0. Antud juhul kehtib meil esimene tingimus ehk 6\geq 0 . Siit liigume definitsioonis edasi ja saame, et sellisel juhul on |a|=a  ehk meie juhul |6|=6. Kuidas on lood -6 korral? Vaatame jälle esmalt suhet arvuga 0 ja siin kehtib seos kui\, a<0, sest -6<0. Jällegi liigume definitsioonis tagant poolt ette ja saame, et sel juhul on |a|=-a, ehk meie näite puhul |-6|=-(-6)=6 . Järelikult tagab antud definitsioon meile alati, et ükskõik millise reaalarvu puhul jääb kaugus nullpunktist alati positiivseks.

Absoluutväärtusel on mõningaid omadusi, mis ei ole jumalast antud vaid tuletatud vastavalt definitsioonile. Vaatame mõningaid omadusi ja ka nende tõestamist, mis kuulub tegelikult juba matemaatilise analüüsi algkursusesse, mitte enam gümnaasiumisse.

Esimene omadus: |a|\geq 0 .
TÕESTUS See sai põhjendatud juba eelnevalt kahe juhu korral, kui a=6 ja a=-6. Nüüd on jäänud veel ∞ palju juhte näidata. Seega teeksimegi seda siis ka üldjuhu puhul. Kuna absoluutväärtuse definitsioon jaguneb mingist hetkest alates kahte ossa, on tõestusi definitsiooni põhjal samuti mõtekas vaadata kahes osas. Vaatame esiteks juhtu “a\geq0“. Sel juhul on definitsiooni põhjal |a|=a või kui a=0, siis |a|=0 ehk a on alati positiivne. Teisel juhul, kui a<0, on vastavalt definitsioonile|a|=-a. Kuid sellest, et a<0, saame, et |a|=-a=-(-a)=a. Ka juhul a<0 jääb selle arvu absoluutväärtus alati positiivseks. Järelikult esimene omadus kehtib.

Teine omadus: |-a|=|a|
TÕESTUS: Teise omaduse tõestamine tugineb otsesel tõestusmeetodile. See tähendab, et me võtame ette kõigepealt juhu |-a| ja siis proovime definitsioone (teoreeme ) rakendades jõuda juhuni |a|. Kuna definitsioonis on juba arv a kasutatud, siis tõestuse paremaks jälgimiseks kasutame hoopis ühe suvaliselt valitud reaalarvu tähistamiseks tähte k,\, k\in \mathbb{R}.

Ok, lets´s go🙂. Otse definitsioonist siis

|-k|=\begin{cases} -k, kui\, -k>0\\ 0, \, kui\, k=0\\ k, kui\, -k<0\\\end{cases} =\begin{cases} -k, kui\, k<0\\ 0, \, kui\, k=0\\ k, kui\, k>0\\ \end{cases}

Absoluutväärtuse märgid pöördusid sellepärast ümber, et korrutasin neid -1 läbi.

Võttes nüüdloogelistes sulgudes teise ja kolmanda lause kokku, saame

|-k|=\begin{cases} -k, kui\, k<0\\k,\,kui\,k\geq 0\\\end{cases}=|k|,

sest loogelises sulgudes võime ülemise ja alumise osa ära avhetada ja siis see vastab täpselt absoluutväärtuse definitsioonile.

Kolmas omadus:  a\leq|a|,\,-a\leq|a|
TÕESTUS . Samuti üpris lihtne tõestus. Stiiliks järjekordselt otsene tõestusmeetod ja definitsiooni vahetu rakendamine. Vaatame esimest juhtu: a\leq|a|. Vaatame läbi esmalt juhu a>0. Absoluutväärtuse definitsioonist saame, et kui a\geq0, siis |a|=a. Juhul, kui a<0, siis definitsoonist saame, et |a|=-a=-(-a)=a. Kuna a<0, siis a\leq|a|. Viimast illustreerib ilusti eelnevalt esitatud -6 näide. Olgu a=-6, siis |-6|=6 ja kuna -6<6, siis -6<|-6|. teise omaduse põhjendamine on analoogiline ja jääb lugejale. Muidugi ma oleks õnnelik, kui keegi selle kommentaaridesse esitaks.

Neljas omadus: |a+b|\leq|a|+|b|,\,|a-b|\leq|a|+|b| (kolmnurga omadus)
TÕESTUS: Jääb lugejale proovida. Kui hätta jääte, küsige kommentaarides abi. See tuleb välja, kui kasutada 3 omadust ja siis liita neid omavahel ning rakendades definitsiooni.

Viies omadus: |ab|=|a||b|.
TÕESTUS: Ilmselt saab seda samuti tõestada vahetult definitsioonist, vaadates eraldi nelja erinevat juhtu, aga olen näinud varianti, kus kasutati omadust \sqrt{a^2}=|a|. Oleks meeldiv, kui keegi trükiks selle tõestuse sisse ja esitaks kommentaaridesse.

Pealkiri: Absoluutväärtus (Absolute value)
Alapealkiri:
Keel: Inglise
Autor: Math Tutoring Ctr
Faili tüüp: pdf
Maht: 7 lk

META: Absoluutväärtuse definitsioon (+ näide), tähtsamad omadused (+ näide), funktsiooni graafik, funktsiooni graafiku omadused, määramispiirkond, muutumispiirkond, absoluutväärtust sisaldavate võrrandite lahendamine definitsiooni põhjal, absoluutväärtuste omaduste tõestus, tõesta absoluutväärtus, Analüüs I, Elementary Calculus

One thought on “Absoluutväärtus

  1. Thanks , I have just been looking for info approximately this topic for a long time and yours is the greatest I have discovered so far.

    But, what concerning the bottom line? Are you positive about
    the supply?

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s