Ratsionaalarvud ja kümnendmurrud


Iga ratsionaalarvu \frac{m}{n} saab esitada kümnendmurruna. Selleks jagame murru lugeja nimetajaga. Näiteks on \frac{3}{5} = 0,6\ldots ja \frac{1}{6} = 0,166\ldots. Esimeses näites saame tulemuseks lõpliku kümnendmurru , teises näites lõpmatu kümnendmurru.

Miks see nii on? jagamisel tekkivad jäägid on alati väiksemad jagajast. Näiteks kui jagame kolme viiega, saavad jäägiks tekkida 0, 1,2, 3, 4.

3 : 5= 0 jääk 3, 30 : 5 = 6 jääk 0.

Kui jagame arvu m arvuga n , siis jäägiks võime saada järelikult 0, 1, 2, \ldots n-1 . Kui jääk on 0, siis on jagamine lõppenud. Nii juhtus esimeses näites. Tulemuseks saame lõpliku kümnendmurru. vaatame nüüd teist näidet

1 :6 = 0 jääk 6, 10 : 6= 1 jääk 4, 40 : 6 = 6 jääk 4 ja nii hakkab see korduma.

Kui kõik jäägid on nullist erinevad, siis jagamine ei lõppe. Kuna erinevate jääkide hulk on lõplik, siis mingi jääk peab korduma. Sellisel juhul hakkavad korduma ka numbrid jagatises. Tulemusena saame perioodilise kümnendmurru . Juhul kui periood (korduma hakkav numbrite rühm) algab kohe pärast koma, siis selliseid kümnendmurde nimetatakse puhtperioodilisteks kümnendmurdudeks.  Puhtperioodiliste kümnendmurdude kirjutamisel märgitakse periood tavaliselt sulgudesse, näiteks 0,666.. = 0,(6); 0,1212… = 0,(12).

Vaatame nüüd näidet \frac{56}{90} = 0,6222\ldots2\ldots. Ka siin hakkavad jagatise numbrid korduma, aga mitte kohe pärast koma. Kümnendmurdu, milles periood ei alga vahetult pärast koma, nimetatakse segaperioodiliseks kümnendmurruks. Kümnendmurru 0,6222… võib kirjutada ka kujul 0,6(2).

Kuna ka iga lõplik kümnendmurd on esitatav lõpmatu perioodilise kümnendmurruna (näiteks 4,3=4,300000.. = 4,3(0)). Siis võime öelda, et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Samuti on võimalik näidata, et iga perioodiline kümnendmurd avaldub ratsionaalarvuna. Selle teisenduse jaoks on mõeldud välja isegi väike algoritm.

Teisendame 0,363636 .. harilikuks murruks. Tähistame 0,363636… tähega x, siis korrutades selle läbi 100ga  saame , et

100x=36,3636…..

Lahutades vasaku ja parema poole, saame, et 99x=36

ja sellele kümnendmurrule vastav harilik murd on

x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}

Teise näitena teisendame 2,1453453. Tähistame 2,1453453… tähega x. Kuna tegu on segaperioodilise kümnendmurruga, ei saa me nii lihtsalt. Korrutame siis vastavalt 10 ja 10000, et koma järgi võrdse perioodi saaks. lahutame vastavad pooled ja avaldades x saame x=\frac{21432}{9990}=2\frac{4}{11}

 

Viide: Tõnso,T., Veelma,A. “Matemaatika: X klass”


Meta: ratsionaalarv, kümnendmurd, lõplik kümnendmurd, lõpmatu kümnendmurd, perioodiline kümnendmurd, puhtperioodiline kümnendmurd, segaperioodiline kümnendmurd, lõpmatu perioodilise kümnendmurru avaldamine ratsionaalarvuna, harilik murd

 

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s