Pokkeri matemaatika


Pokker on mäng kus pannakse korralikult kontrollile strateegia ja isiksuseomadused, kuid nende omaduste arendamiseks peaks enne pilgu peale viskama valitsevatele tõenäosustele pokkeri mängus. See mõistmine on olemas igal pokkerimängijal, kuigi arvatavasti on ta selle saanud mängides kui õppides ja arvutades. Ta võib olla ei ole ise teadlik, et tal see omadus olemas on.

Mehed, kes pokkeri leiutasid, reastasid  võimalikud käed vastavalt tuleku tõenäosusele, kuigi ridade tuleku tõenäosusest oli mõningat aega natuke vale arusaam. Käte reastamine hakkab loomulikult arvutamisest, mitu erinevat viie kaardist kätt on võimalik jagada 52 kaardisest kaardipakist.

Neid saamearvutad , kasutades kombinatsioone n-elemenist k- kaupa. Multikates võime näha, kus mõnel tegelasel on viis ässa käes. siis peaksime kasutama kordumistega kombinatsioone. Reaalses elus on vast igat kaarti pakis üks ja kasutame seetõttu kordumisteta kombinatsioone.

C_{n}^{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}

Meil on n=52 ja k=5. Seega saame

C_{52}^{5}= \frac{52!}{5!\cdot 47!}= 2598960

Seega on kokku üle 2,5 miljoni võimaliku käe. Vaatame nüüd, kui palju on erinevaid käsi ja millised on nende järjestus.

Alustame kõige kõrgemast. Kuna on olemas ainult neli masti ja igale mastile vastab üks kuninglik mastirida, siis on neid kokku neli. Järelikult on kuningliku mastirea tuleku võimalus \frac{4}{2598960}=\frac{1}{649740}.

Järgnevalt võtame ette mastiread. nende alla kuulub ka kuninglik mastirida. Kuna kuninglik mastirida oli üks võimalus, siis hakkame järjest allapoole kerima. Järgnev oleks 9, 10 , P, E, K jne. kuni 2,3,4,5,6 välja. Kuna mastiread saavad lõppeda kõikide kaartidega ässast kuni viieni (A2345), siis ühe masti jaoks on neid 10. Nelja masti jaoks on neid 40, kus 4 tükki on kuninglikud. Need maha ja saame mastirea tuleku tõenäosuseks

\frac{36}{2598960} = \frac{1}{72193}

Järgmiseks tuleb meil nelik. Neli kaarti on fikseeritud juba. Seega viiendaks kaardiks võib tulla üks järelejäänud 48-st. Erinevaid nelikuid saab olla 13 tükki (Huvitav, et erinevat liiki kaarte on 13🙂 ). Seega erinevaid nelikuid saab olla 13\cdot 48=624. Tõenäosuseks saame siis \frac{624}{2598960} =\frac{1}{4165}.

Maja – Erinevate kaartide kõrgusastmeid on 13 (kahest kuni äsaani). Neljast ühesuguse kõrgusastmega kaardist kolme valikuks on C_{4}^{3}=4 võimalust. Seega erinevate kolmikute valikuks on 13 \cdot C_{4}^{3}. Peale kolmiku väljavalimist me enam seda kõrgusastet kasutada ei saa ja jääb järgi 12 tükki. nelja kaardi hulgast paari valikuks on võimalusi C_{4}^{2} =6. Seega erinevate paaride valikus on võimalusi  12 \cdot C_{4}^{2}.  Seega on “maja” esiletuleku tõenäosus \frac{13 \cdot C_{4}^{3} \cdot 12 \cdot C_{4}^{2}}{2598960} = \frac{6}{4165} \approx \frac{1}{694}

Mast– esmapilgul tundub lihtne, aga tegelikult pole. Kolm autorit pakuvad, et tõenäosus võiks olla \frac{1}{509}. Ja teiseks variandiks \frac{1}{505} Põhjendus järgnev: Esimene kaart võib olla mis iganes tõenäosusega 1/1. Teine võib olla üks järelejäänud esimese masti 12 kaardist. Selle tuleku tõenäosus on 12/51. Sama asi järgnevate kaartide puhul ja tõenäosused on 11/50, 10/49 ja 9/48. Korrutame need murrud ja saame 1/505. Siin peaks arvestama ühte asja veel. Saadav mast võib olla mastirida. Kuid kui kuninglikud mastiread kaasa arvata, on tõenäosus ainult 1/64976, mis on piisavalt väike et seda antud juhul mitte vaadata.

Rida– Raamat annab 1/256. Minu loogika oleks järgnev. Vaatleme rida Ä, K , E, P, 10. Ässa valikuks on neli võimalust, kuninga valikuks neli võimalust , .., 10 valikuks on neli võimalust. Järelikult võib see rida välja tulla 4^5=1024 Neid ridu saame moodustada 10 tükki. Viimane on 5,4,3,2,A. Seega rea saamiseks on soodsaid võimalusi 10240. Siit arvame maha kõikvõimalikud mastiread, sest nende tõenäosust me juba arvutasime. neid oli 40. Jääb järgi 10200.

Tõenäosus on seega

\frac{10200}{2598960}=\frac{5}{1274} \approx \frac{1}{255}

Ei oska öelda, kus see ühene vahe tuleb. Ümardamisveast äkki, sest raamat ise pärines 1965 aastast.

Kolmik – raamat annab tõenäosuseks 1/48. Ise arutlesin nii, et kolmiku valimiseks on meil C_{4}^3=4 võimalust. Kõrgusastmeid on 13, seega erinevaid kolmikuid saab olla 4 \cdot 13=52 Selle kõrvale võime kaks kaarti valida C_{49}^{2}=1176 moel. Järelikult on soodsaid võimalusi 52\cdot 1176 = 61152 Nende hulgas võib olla “maju” (3744) ja nelikuid (624). Järelikult jääb kolmikute jaoks 61152-3744-624 =56784 võimalust. Järelikult on kolmiku tuleku tõenäosus

\frac{56784}{2598960} \approx\frac{1}{46}

Ülesanded, mille lahendusi ootan kommentaarides😀

Kaks paari – Inimeste tungival soovil uurime , kui suur on kahe paari tuleku võimalus. Ühe paari valikuvõimalus ( näiteks poiste paar) on C_{4}^2 =6. Teise paari (näiteks  kaks viite) valikuvõimalus on samuti  C_{4}^2 =6.  Nüüd peame vaatama, kui suur on viimase viienda kaardi valikuvõimalus. Kuna enam poissi ega viitesid ei tohi tulla ( sel juhul on juba maja), on selleks 52 – (4+4) =44 võimalust. Ja lõpuks peame arvestama, et meil ei pea olema kaks paari poistest ja viitest. Võivad olla ka poisid ja kolmed või hoopis kunnid ja emandad. Kuna erinevaid kõrgusastmeid on 13, siis nende jaoks on valikuvõimalusi C_{13}^2 =78. Järelikult on kahe paari jaoks valikuvõimalusi C_{4}^2 \cdot C_{4}^2 \cdot 44 \cdot 78 =123 552 , mis jagades koguvõimalustega

\frac{123552}{2598960} \approx\frac{1}{21}

Paar – 1/2,5

Kõrgeim mast – 1/2

Kasutatud materjalid:
Tõnso,T., Veelmaa, A. “Matemaatika: 12 klass”
Huff, D. “How to take a chance”
Math Forum : http://mathforum.org/library/drmath/view/56533.html

Meta: tõenäosusteooria, pokker, pokkeri käsi, kombinatoorika, mastirida, nelik, maja, mast, rida, kolmik, kaks paari, paar, kõrgem kaart, pokkeri käte ranking, kombinatoorika kasutamine tõenäosus arvutamisel.

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s