Õuna ruumala


Palju on kirjutatud artikleid sellest, kuidas matemaatikat tuleks siduda ikka rohkem ja rohkem eluga. Ise olen kohanud palju Pythagorase teoreemi rakendusi torni pikkuse ja maja räästaga seotud ülesannetes. Tuletist olen ka näinud õlilaigu kasvamise ülesandes ja erinevate hetkkiiruste arvutamisel. Mulle ei meenus siiski ühtegi ülesannet integraali elulisest rakendatavusest. Muidugi saame tuletada koonuse ruumala ja kera ruumala arvutamise valemid ning rääkida, et neid saab elus kasutada. Samuti võime rääkida idealiseeritud maalapist, mida ühelt poolt ümbritseb parabool ja teiselt poolt sirge, kuid need ülesanded mõjuvad ikkagi kuidagi kunstlikult. Tegelikult ei ole ju looduses jooned nii ideaalsed. Otsustasin hakata otsima seda ülesannet, et kuidas ikkagi näidata integraali rakendamist elulistes ülesannetes ja poes õuna ostes torkas pähe, et äkki prooviks integraaliga selle ruumala arvutada😀. Naljakas mõte, aga õuna telglõige sarnaneb tegelikult ühe matemaatilise joonega, mida nimetatakse kardioidiks.

Kardioidi ehk südamejoont tekitab  fikseeritud ringjoone ümber veereva ringjoone punkt. Kardioid on tegelikult üks joon epitükloidide perekonnast. Kardioid tekib siis, kui pöörleva ja fikseeritud ringjoone raadiuste suhe on 1.

Idee sündis mõttest, et silinder tekib, kui ristkülik pöörleb ümber oma ühe külje. Samuti tekib õuna ruumala, kui kardioid pöörleb ümber oma sümmeetria telje. Küsimuseks jäi, kuidas leida tekkinud ruumala? Enne matemaatilist katsetamist kasutasin vana head Archimedese meetodit.

Võtsin klaasitäis vett ja asetasin õuna sinna sisse ning uurisin, kui palju vett see välja tõrjus. Vee mõõtmiseks kasutasin detsiliiter klaasi, mis igas köögis peaks leiduma. Tulemuseks sain 1,3 dl. Kuna  1l = 1000 \,cm^3, siis  1dl =  100\, cm^3. Järelikult Archimedese meetodiga saime ruumalaks 130\, cm^3

Nüüd matemaatiline pool. Joonestasin ruudulisele paberile välja ko0rdinaatteljestiku ning asetasin pooliku õuna sinna peale.  Siin toon GeoGebra graafilise joonise.

See lõikas y-telge punktides 2.5 ja -2.5. Kuna kardioidil ei ole head võrrandit Cartesiuse koordinaatides, peab kasutama polaarkoordinaate. Tema üldvõrrand on r=a(1-cos(\theta)) . Suuruse a leidmiseks on meil vaja teada, mis kohal on \cos\theta=0 . See juhtub siis, kui \theta=\frac{\pi}{2}. Siis on r=a ja antud juhul siis r=2,5(1-cos(\theta))

Kui integreerimist ei mäleta või ei tule see meelde, saab ruumala leidmiseks  kasutada ühte vabavaralist programmi, mille saab aadressilt http://graph.seriesmathstudy.com/.

Seal oli siis tulemus järgnev

Tulemus oli üllatavalt täpne. See oli esimene suur emotsioon. Siiski hakkas mind painama, kuidas see programm etteantud kujundi ruumala leiab?

Igas 12. klassi õpikust võime leida keha ruumala valemi, mis tekib kõvertrapetsi pöörlemisel ümber oma telje.

V=\pi \int^b_a y^2\,dx

Selle arvutamiseks peame avaldama mõningad suurused.

r=a(1-cos(\theta)),

x=r\cdot cos(\theta),

y=r\cdot sin(\theta)

x ja y tulevad põhivalemitest, millega minnakse üle polaarkoordinaadistikku.

Asendame r -i x-i valemisse ja saame, et

x=a(1+cos(\theta))cos\theta, y=a(1+cos(\theta))sin\theta, dx=a(-sin(\theta)-2cos(\theta)sin(\theta))d\theta

Kui nüüd ettevalmistused on tehtud, asume integreerima:

V=\pi \int^b_a y^2\,dx =\pi \int^0_{\pi}[a(1+ \cos\theta)\sin\theta]^2 \cdot a(-\sin\theta-2\cos\theta\sin\theta)d\theta =

= -\pi a^3 \int^0_{\pi} (1+\cos\theta)^2 \sin^3\theta (1+2\cos\theta)d\theta

Päris kena matemaatika. Polegi selle õuna ruumala nii lihtne leida. Kes tahab edasi pusida, siis all on kolm linki, millest üks näitab terviklikku lahendit. Kes integreerimisega nii tuttav pole, siis kasutame Wolfram Alphat

Sisestatav integreerimiskäsk on järgnev:

Integrate[(1+Cos[x])^2*(Sin[x])^3*(1+2*Cos[x]), {x, Pi, 0}]

Määratudintegraali vastuseks tuleb -\frac{8}{3}. Ei tohi ära unustada, et meil oli integraali ees veel konstandid -\pi a^3, järelikult läbi korrutades saame üldiseks õuna ruumala valemiks

V=\frac{8 \pi a^3}{3}

Teades, et a=2.5, saame antud õuna ruumalaks V=\frac{8\cdot\pi \cdot 2.5^3}{3}=130,89969 . Üpris hämmastav sarnasus eelmiste mõõtmiste ja arvutustega ja see üllatas mindki esmapilgul. Minu kasutada olnud õuna telglõige oli samuti peaaegu ideaalne kardioid, mis peaks esialgsega lähedase tulemuse tagama. Lisaks on meil olemas terviklik valem õuna ruumala arvutamiseks.

Pealkiri: Õuna ruumala
Alapealkiri: Integraali elulisi rakendusi
Keel: Eesti
Autor: Kaido Kariste
Faili tüüp: pdf
Maht: 6lk

 

Meta : polaarkoordinaadid, ruumala, määratud integraal, integraal, Newton-Leibnizi valem, eluline matemaatika, integreerimine, tuletis, polaarnurk, õuna ruumala

Viited:

http://www.seriesmathstudy.com/polargraph.htm

http://graph.seriesmathstudy.com/

http://rbmix.com/problem/math/integral20/integral20.html

4 thoughts on “Õuna ruumala

  1. Ma ei suuda uskuda, et see nii huvitav oli lugeda. Matemaatika on palju huvitavam kui käiku läheb reaalses igapäevaelus leiduvad tööriistad, nagu katsealune õun, kauss, mõõteklaas mida ema kasutab jahu mõõtmiseks, jne.

    Luba ma teen apelsini — V = 4/3 pii x r kuubis. Siin igatahes on apelsinid täiuslikud kerad, kuni keegi nad maha potsatab.

    PS. Ilus kardioidne õun sul🙂 Võimalik, et selle väikese (0.89 cm3) erinevuse tekitas varre vastaspoolel olev ots, mida kardioid ei arvesta – seal on ka alati väike sügavus.

  2. Kartsin ise palju hullemat tulemust. Sest ikkagi õun ei ole ideaalne kardioid, see vee mõõtmine on nii nagu ta on. osa veest jääb klaasi külge ja seal pindpidevus mängus, et kui vee tase on natuke üle serva, siis ta ei hakka kohe üle ääre voolama. Teine kriitiline koht oli õuna järgi kardioidi võrrandit saada. Ma ei teadnud, kuidas konstandid selle kuju mõjutavad. Möllasin natuke Wolfram alphas ja sealt sain aimu. Olin valmis ka selle kuju “idealiseerimiseks, kuigi siis oleks kindlasti tulnud päris suur erinevus.

    Kolmas oli integreerimine, aga õnneks leidub vabavaralisi programme, mis selle töö ära teevad. Mina olen poolt, et kasutada tehnoloogilisi abimehi. Lihtsalt tuleb enne veenduda, et see ka korras on.

  3. Väga hea! Minu jaoks oli füüsikalise ja matemaatilise meetodi kokkulangevus sel korral täiesti vapustav. Koolifüüsika poolelt soovitaks siiski kahte asja:

    *** Väljatõrjutud vee kogumiseks on parem kasutada ülevooluanumat. Selle saab teha näiteks mingile plastpurgile toru külge superatakkides. Pudel ei kõlba, õun ei mahu sisse ja kui kael maha lõigata, siis on liiga pehme. Võib ka tellida:
    http://www.total.ee/?id=975&type_id=&product_id=528
    Sellega ei saa anum väljast märjaks ja üks määramatuse allikas jälle vähem.

    *** Õpetajaametis ei lubaks ma mingil juhul kirjutada 1l=1000g. See oleks füüsika tunnis sama hea, kui kirjutada ühe meetri ja kaheksakümne sentimeetri pikkuse mehe kohta, kellel on rahakotis sada krooni:
    1,8m=100EEK(6,39€)

  4. Tere

    Need kommentaarid tulid mulle väga kasuks. Pean jaanuaris esitluse tegema ja proovin sellest lähtuvalt natuke räägitavat lihvida.

    * Muutsin selliseks 1l = 1000 \,cm^3, siis 1dl = 100\, cm^3. Arvan, et pidasite silmas eritihedust ja et alati ei ole 1l 1000g.

    Ja olles matemaatik, huvitaksid mind siiski ka füüsikute märkused ja tähelepanekud🙂

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s