Polaarkoordinaadistik


Esmakordsel tutvumisel koordinaatsüsteemidega tutvustati Teile kindlasti ristkoordinaadistikku e. Cartesiuse koordinaadistikku (joonis a). Tegu on standardsete punkti P x ja y koordinaatidega, kus x-telg on horisontaalne, y-telg vertikaalne ja nende lõikepunkti tähisitatakse tähega O (origin).

Alternatiivseks variandiks kasutada (x, y) koordinaatidele või Cartesiuse koordinaatidele on polaarkoordinaatide kasutamine. Sel juhul määratakse tasandi punkti P koordinaadid polaarnurga \theta ja polaarraadiuse ( mõnikord ka polaarkauguse) r kaudu. Keskseks punktiks on siingi punkt O , mida nimetatakse pooluseks.
Eriti kasulik on polaarkoordinaate kasutada ringsümmeetria uurimiseks. Mida see kõik tähendab, sed hakkamegi nüüd järgnevalt vaatama.

Kasutan erinevate joonte joonestamiseks programmi GeoGebra . Ilmselt pole sel kujul keegi veel polaarkoordinaatides jooni konstrueerinud ( vähemalt internetist ma ei leidnud), nii et saame teha natuke teadust.

Esmalt tahaksin ma vabaneda ristkoordinaatidest. Teeksime ise endale definitsiooni põhjal polaarkoordinaadistiku. Selle jaoks lülitage menüüst vaade välja teljed. Järgnevalt peame ise tekitama endale polaarkoordinaadistiku. Selle jaoks paneme paika pooluse O (vaba punkt) ning joonestame sellest välja polaartelje OX. Nüüd on teljestik olemas ja võime asuda joonestamise juurde.

Archimedese spiraal

Proovime alguseks konstrueerida midagi lihtsat. Leheküljelt Wolfram MathWorld saame Archimedese spiraali võrrandiks polaarkoordinaatides

r=a\theta

Proovime esmalt teha juhu r=\theta jaoks. Spiraali joonestamiseks on meil vaja polaarraadiust r ja polaarnurka \theta. Ühtlasi võime märgata sellest võrrandist, et raadius on otseses sõltuvuses polaarnurgast. Konstruktsioon oleks siinkohal järgnev:

  1. Muudame nurga ühiku radiaanideks ( just nendes ühikutes mõõdetakse polaarnurka). Selle jaoks valige menüüst Võimalused > Nurga ühik > Radiaanid.
  2. Teeme nüüd ühe liuguri, mis mõõdab meil polaarnurka \theta radiaanides. Selle jaoks klikkige nupul Liugur ja peale seda tühjal kohal töölaual. Avanevas menüüs märgistage Arvu asemel ära Nurk ning tähiseks valige kreeka täht \theta (kõrvalt menüüst) ning edasi Rakenda.
  3. Nüüd on meil vaja konstrueerida polaarnurgast sõltuma hakkav polaarraadius r. Selleks valige sirgete ja lõikude menüüst Antud punktist lähtuv antud pikkusega lõik ning klikkige punktil O. Pikkuseks valige \theta ja OK. Ilmub meil polaarteljele üks punkt. Kel ei ilmu, lohistage natuke liugurit.
  4. Polaarnurga suurendamisel peaks see punkt ümber pooluse tiirlema hakkama. Selle saamiseks otsime üles Peegeldamiste menüüst valiku Pööra objekti antud nurga võrra ümber punkti. Selle valiku aktiveerimisel klikime esmalt punktil A ja siis punktil O (poolusel). Avaneb menüü nurga valikuks. Kustutage vaikimisi pakutav 45^\circ ja valige kõrvalmenüüst asemele \theta. Suunaks jääb vaikimisi vastupäeva ehk matemaatilises mõistes positiivne pöörlemissuund. Ekraanile tekib uus punkt, mis liuguri liigutamisel peaks hakkama tiirlema ümber pooluse.
  5. Lülitage sisse uue punkti jälg ning vaadake, millise joone see tekitab. Selle jaoks parem klõps uuel punktil ja Jälg sisse. Liigutage liugurit.

Oleme saanud joone võrrandi r=\theta jaoks, kuid kuidas see sõltub parameetrit a. Mida teeb a Archimedese spiraaliga? Selle teadasaamiseks tekitage uus liugur, valige sammuks 1 ning proovige sinna juurde siduda parameeter a.

Roosijooned

Edasi uurime jooni, mida kutsutakse ka hellitavalt roosideks. Nende üldvõrrandiks polaarkoordinaatides on

r=a\cdot \sin (n\theta)

Liugurid a ja \theta on meil olemas. tekitage juurde kolmas liugur n.

  • Defineerige uuesti polaarraadius kasutades nüüd kõiki parameetreid ja tehke vastav pööre ümber pooluse.

Paremaks jälgimiseks lisame juurde dünaamilise teksti. Selleks otsige liuguriga samast menüüst üles nupp Lisa tekst ja lisage järgnev tekstijupp “r=” + a + ” sin ( ” + n + ” θ) “.

Muutke parameetreid ja vastake küsimustele:

  • Mis juhtub, kui muuta ainult parameetrit a , aga jätta n=0 ?
  • Milline joon tekib juhul a=1 ja n=1, aga a=2 ja n=1?
  • Milline joon tekib n=2 puhul? n=3, n=4, … , mida n joone kujus muudab?
  • Muutke n samm ühelt 0.5ks ( parem klõps liuguril ja samm 0.5). Mis juhtub joonega, kui võtta n= 0.5?
  • Uuri, millised jooned tekivad, kui n=1.5, n=2.5, …. Mida sammu muutmine tegi?
  • Muuda n sammuks \frac{1}{3} e. 0.33333 . Mis juhtus ?

Pealkiri: Polar coordinates
Alapealkiri: Engineering Maths First Aid Kit
Keel: Inglise
Autor: MAACC
Faili tüüp: pdf
Maht: 2lk

Kui on teada polaarkoordinaadid, kuidas minna siis üle cartesiuse koordinaatidele.

r=3 \theta =2. Koostame võrrandisüsteemi x ja y leidmiseks.

\begin{cases} x^2+y^2=9\\ tan (2) =\frac{y}{x}\\ \end{cases}

Seosest tan (2) =\frac{x}{y} saame, et y=-2,118503x ja siit x^2+(-2,18503x)^2=9 \Leftrightarrow 5,7743x^2=9 \Leftrightarrow x^2=1,5586 \Leftrightarrow x=-1,248. x on negatiivne seetõttu, et nurga tõttu asub punkt II veerandis. Märkuseks veel niipalju, et nurgad on antud kõik radiaanides ehk tangensi nurk on 2 radiaani, mitte 2 kraadi.

y saame kätte seosest y=-2,18503x \Leftrightarrow y=2,73

Vastus on seega (-1,25; 2,73). Pikemalt vaata failist.

Muidugi saab seda edukalt kasutada vastupidi- Cartesiuse koordinaadistikult üleminekuks polaarkoordinaadistikule.

Kuidas minna üle Cartesiuse koordinaatidelt polaarkoordinaatidele?

Olgu meil antud punkt (3,4). Vastavalt failis olevatele seostele saame

\begin{cases} r\cdot \cos(\theta)=3\\ r\cdot \sin(\theta)=4\\ \end{cases}

Esimesest seosest saame, et r=\frac{3}{cos(\theta)}. Asendades selle alumisse võrrandisee saame, et

\frac{3}{cos(\theta)} \cdot sin(\theta)=4 \Leftrightarrow tan(\theta) =\frac{4}{3} \Leftrightarrow \theta=arctan(\frac{4}{3})

\theta = 0,927 rad

Kuna r=\frac{3}{cos(\theta)}, siis r=5

vastuseks saame, et  punkt (3,4) Cartesiuse koordinaatides vastab punktile 5\angle 0,927 polaarkoordinaatides.

Samuti saab seda seost kasutada veel paremini üleminekuks polaarkoordinaatidelt Cartesiuse koordinaatidele,

Mõlemad meetodid demonstreerivad hästi seoseid polaarkoordinaadistiku ja ristkoordinaadistiku e. Cartesiuse koordinaadistiku vahel.

META: Polaarkoordinaadid, ringikujuline sümmeetria, üleminek Cartesiuse koordinaadistikult polaarkoordinaadistikku, koordinaatsüsteem, Cartesiuse koordinaatsüsteem, ristkoordinaadistik, x-telg, y-telg, postiivne nurk, kellaosutile vastupidine suund, näited pollarkoordinaatidest, polaarnurk,

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s