Arvu logaritm – seitsmes matemaatiline tehe


Viiendal matemaatilisel tehtel – astendamisel – on kaks pöördtehet. Kui

a^r=N, kus a>0 ja a\neq 1,

siis on a leidmine üks pöördtehe – juurimine; teine pöördtehe on r leidmine – logaritmimine.

Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N st. r=log_{a}N \Leftrightarrow a^r=N

Arvu logaritmi mõistega seotud nimetused on järgnevad:

  • N – logaritmitav
  • a- logaritmi alus
  • r – arvu N logaritm alusel a

Eelnevast definitsioonist on üsna lihtne mõista, et a^{log_{a}N}=N.

Vaatame selgituseks mõningaid näiteid. Olgu 2^r=8. proovimise teel leiame, et r=3, sest 2^3=8. Seda tulemust kirjutatakse sümbolites järgmiselt r=log_{2}8=3. Sümbolit r=log_{2}8=3 loetakse: logaritm alusel 2 arvust 8 või kahendlogaritm 8-st. Sõna “logaritm” tuleneb kahest kreekakeelsest sõnast logos –  suhe ja arithmos – arv. Võite aimata, millega tegeleb matemaatika haru nimega “aritmeetika”.

Logaritmil on mõningaid kasulikke omadusi, mida tasub meeles pidada

  • Logaritmi saab leida ainult positiivsest arvust, st N>0. Kõige lihtsam on mõista seda vaadates avaldist a^r=N. Ükskõik, kui suureks/väikseks  r ka ei ajaks, jääb N positiivseks.
  • Logaritm logaritmi alusest on 1, st log_{a}a=1. Ilmselt ka lihtne mõista, sest a^1=a
  • Logaritm ühest on null, st. log_{a}1=0, sest a^0=1

Kui logaritmi alus a=10, siis lühiduse mõttes kirjutatakse log_{10}N asemel log N, mida loetakse kümnendlogaritm N-st. Kui aga logaritmi alus a=e, siis kirjutatakse log_{e}N asemel ln N, mida loetakse naturaallogaritm N-st .

Milleks on logaritm välja mõeldud? Muidugi arvutuste kergendamiseks ja kiirendamiseks. Esimese logaritmide tabeli leiutaja John Napier (1550 – 1617 ) räägib oma ajenditest järgmist: “Ma püüdsin, nii kuidas võisin ja oskasin, vabaneda arvutamise raskustest ja igavusest, mille tüütus peletab tavaliselt üsna paljusid matemaatika õppimisest eemale”. Tõepoolest, logaritmid kergendavad ja kiirendavad arvutamisi erakordselt – rääkimata sellest, et nad võimaldavad teostada selliseid operatsioone, mis ilma nende abita oleksid täiesti läbiviimatud (mistahes astme juure leidmine). Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827) ei kirjutanud asjatult, et logaritmide leiutamine, lühendades mitme kuu töö mõnele päevale, just nagu kahekordistab astronoomide eluiga. Suur matemaatik kõneleb astronoomidest, kuna neil tuleb teostada eriti keerukaid ja väsitavaid arvutusi. Kuid tema sõnad kehtivad täie õigusega kõigi kohta, kellel tuleb tegelda arvutamisega.

Meil, kes me oleme harjunud arvuteid kasutama, on raske kujutleda seda hämmastust ja vaimustust, mille kutsus esile logaritmide ilmumine. Napieri kaasaeglane Henry Briggs (1561 – 1630), kes hiljem sai kuulsaks kümnendlogaritmide leiutamisega, saanud Napier’ iteose, kirjutas: “Oma uute ja imetlusväärsete logaritmidega pani napier mind intensiivselt tööle niihästi pea kui kätega. Ma loodan teda suvel näha. Mitte kunagi pole ma lugenud raamatut, mis oleks mulle rohkem meeldinud ja mind enam hämmastusse viinud”. Briggs teostas oma kavatsuse ja sõitis Šotimaale, et külastada logaritmide leiutajat. Kohtumisel ütles Briggs:

“Ma võtsin selle pika reisi ette ainsa sihiga näha teid ja teada saada, milline teravmeelsus ja teaduse relv viis teid esimesele mõttele suurepärasest abivahendist astronoomidele – logaritmidest. Muide, nüüd imestan ma rohkem selle üle, et keegi ei leidnud neid varem – seevõrra näivad nad lihtsatena pärast seda, kui neid tunda.”

Perelman. J. I. (1952). Huvitav algebra. Tallinn: Eesti Riiklik Kirjastus
Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker,K. (2007). Matemaatika: 11.klass. Tallinn: Koolibri

META: Arvu logaritmi mõiste, logaritm, kümnendlogaritm, logaritmi alus, naturaallogaritm, Napier, Briggs, Laplace, logaritmitav, arvu logaritm alusel, logarimi definitsioon, logaritmi näited.

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s