Teoreem kolmnurga kesklõigust


Järgnevalt siis üks Vanast-Kreekast pärit tõestus, mis seob kolmnurga kesklõiku kolmnurga külgedega.

Joonestame vabalt kolmnurga ABC ja lõigu, mis ühendab selle kolmnurga külje kahte keskpunkti.

DEF: Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks.

TEOREEM: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.

EELDUS: DE on kolmnurga kesklõik ( millest saame, et AD = DC ja CE = EB)

VÄIDE: 1) DE \parallel AB 2) DE = \frac {1}{2}AB

Tõestuse esimene võtmemoment seisneb joonise õiges täiendamises. Täiendame joonist, pikendades DE iseenda pikkuse võrra ja tähistame otspunkti tähega F. Nii saame, et DF =2DE. Ühendame otspunkti F tipuga B

Teiseks võtmemomendik on näidata, et  nelinurk ABFD on rööpkülik. Siis saaksime väita, et DE \parallel AB ja isegi tuleks välja, et DE = \frac {1}{2}AB. Selleks anname esmalt rööpküliku definitsiooni

Nelinurka, millel on üks paar paralleelseid ning võrdseid vastaskülgi, nimetatakse rööpkülikuks.

Järelikult piisab näidata, et nelinurgal ABFD on üks paar paralleelseid ja võrseid külgi. Proovimegi seda näidata.

  1. DE = EF ( konstruktsiooni põhjal), CE =EB ( kesklõigu definitsioonist) \angle DEC = \angle FEB ja nendest kolmest seosest järeldub vastavalt kongruentsustunnusele KNK, et \triangle DCE \cong \triangle BEF
  2. BF = DC ( kui kongruentsete e. võrdsete \triangle DCE ja \triangle BEF vastavad küljed ).
  3. Lisaks on \angle FBE = \angle DCE, kui nende samade võrdsete kolmnurkade vastavad nurgad.
  4. BF = DC ja DC = AD \Rightarrow BF =AD. Oleme saanud, et sellel nelinurgal on üks paar võrdseid külgi. Et see oleks rööpkülik, peame näitama veel, et need on paralleelsed

Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad võrdsed põiknurgad

5. Kuna \angle FBE = \angle DCE ja need on põiknurgad, kui läbi lõigu AC ja BC panna sirge ning lõigata seda sirgega CB, siis on BF \parallel AC \Rightarrow BF \parallel AD.  Järelikult lisaks võrdsusele on need küljed ka paralleelsed. Seega on meil olemas üks paar paralleelseid ja võrdseid külgi ning võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik.

6. Kuna ABFD on rööpkülik, siis on DF \parallel AB \Rightarrow DE \parallel AB, millega on väite esimene osa tõestatud.

7. Nüüd veel teine osa: DF = \frac{1}{2}DE vastavalt konstruktsioonile ja DF = AB (rööpkülik). Järelikult on siis AB =\frac{1}{2}DE, millega on teine väide samuti tõestatud ja sellega kogu teoreem . \clubsuit

Lisan siia veel ühe inglisekeelse video sama tõestuse kohta.

Lisaks veel selgitus:  The Midline Theorem

Kasutatud kirjandus: Nurk, E., Telgmaa, A., Undusk, A. (2000). Matemaatika 8. klassile. Tallinn: Koolibri.

META: Kolmnurga kesklõik, teoreem kolmnurga kesklõigust, kesklõigu pikkus, 8. klass, tõestus, tõestamine, kongruentsus, kolmnurkade võrdsus.

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s