Kolmnurga mediaanid


DEF: Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks.

Teoreem kolmnurga mediaanist
Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.

TÕESTUS

Lõikugu kolmnurgas ABC mediaanid BE ja CF punktis G. Joonestame välja lõigu AG ning pikendame seda nii palju, et ta lõikaks külge BC punktis D. Teoreemi tõestamiseks peame näitama, et

  1. AD on mediaan, st. BD = DC ja
  2. AG=2GD (BG=2GE ja CG=2GF)

Esimese tõestuse võtmemomendina on meil vaja pikendada lõiku AD punktini K nii palju, et AD = GK ning ühendame tipu K kolmnurga tippude B ja C-ga. Teine võtmemoment seisneb näitamises, et BKCG on rööpkülik.

Tõestame ära väite esimese osa, st. näitame, et AD on mediaan.
Vastavalt eeldusele on punkt F  lõigu AB keskpunkt ja konstruktsiooni põhjal on punkt G lõigu AK keskpunkt. Sellest järeldub, et lõik FG on \triangle ABK kesklõik. Vastavalt teoreemile kolmnurga kesklõigust on FG \parallel BK \Rightarrow GC \parallel BK. Kolmnurga AKC puhul saame läbi viia samasuguse arutelu, mille tulemusena järeldub, et BG \parallel KC . Järelikult on nelinurk BKCG rööpkülik.

Lõigud BC ja GK on rööpküliku BKCG diagonaalideks. Rööpküliku diagonaalid aga poolitavad teineteist. Järelikult on BD = DC, millega on esimene punkt näidatud ja tõestatud, et AD on mediaan.

Teise osa tõestuseks kasutame juba rööpküliku omadusi.  GD = DK, sest ta on rööpküliku diagonaal. Sellest järeldub, et GD = \frac{1}{2}GK. Kuna AG = GK , siis GD = \frac{1}{2} AG \Rightarrow AG=2GD \clubsuit

Sarnaselt on võimalik näidata kõikide juppide kohta seda.

Kasutatud kirjandus :

Nurk, E., Telgmaa, A., Undusk, A. (2000). Matemaatika 8. klassile. Tallinn: Koolibri.

Tutorvista: Theorem of medians of a triangle

META: Teoreem kolmnurkade mediaanist, mediaan, kesklõik, paralleelne, keskpunkt, tõestus, 8. klass, tõestamine, külje poolitaja

Advertisements

Lisa kommentaar

Täida nõutavad väljad või kliki ikoonile, et sisse logida:

WordPress.com Logo

Sa kommenteerid kasutades oma WordPress.com kontot. Logi välja /  Muuda )

Google+ photo

Sa kommenteerid kasutades oma Google+ kontot. Logi välja /  Muuda )

Twitter picture

Sa kommenteerid kasutades oma Twitter kontot. Logi välja /  Muuda )

Facebook photo

Sa kommenteerid kasutades oma Facebook kontot. Logi välja /  Muuda )

w

Connecting to %s