Kolmnurga mediaanid


DEF: Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks.

Teoreem kolmnurga mediaanist
Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.

TÕESTUS

Lõikugu kolmnurgas ABC mediaanid BE ja CF punktis G. Joonestame välja lõigu AG ning pikendame seda nii palju, et ta lõikaks külge BC punktis D. Teoreemi tõestamiseks peame näitama, et

  1. AD on mediaan, st. BD = DC ja
  2. AG=2GD (BG=2GE ja CG=2GF)

Esimese tõestuse võtmemomendina on meil vaja pikendada lõiku AD punktini K nii palju, et AD = GK ning ühendame tipu K kolmnurga tippude B ja C-ga. Teine võtmemoment seisneb näitamises, et BKCG on rööpkülik.

Tõestame ära väite esimese osa, st. näitame, et AD on mediaan.
Vastavalt eeldusele on punkt F  lõigu AB keskpunkt ja konstruktsiooni põhjal on punkt G lõigu AK keskpunkt. Sellest järeldub, et lõik FG on \triangle ABK kesklõik. Vastavalt teoreemile kolmnurga kesklõigust on FG \parallel BK \Rightarrow GC \parallel BK. Kolmnurga AKC puhul saame läbi viia samasuguse arutelu, mille tulemusena järeldub, et BG \parallel KC . Järelikult on nelinurk BKCG rööpkülik.

Lõigud BC ja GK on rööpküliku BKCG diagonaalideks. Rööpküliku diagonaalid aga poolitavad teineteist. Järelikult on BD = DC, millega on esimene punkt näidatud ja tõestatud, et AD on mediaan.

Teise osa tõestuseks kasutame juba rööpküliku omadusi.  GD = DK, sest ta on rööpküliku diagonaal. Sellest järeldub, et GD = \frac{1}{2}GK. Kuna AG = GK , siis GD = \frac{1}{2} AG \Rightarrow AG=2GD \clubsuit

Sarnaselt on võimalik näidata kõikide juppide kohta seda.

Kasutatud kirjandus :

Nurk, E., Telgmaa, A., Undusk, A. (2000). Matemaatika 8. klassile. Tallinn: Koolibri.

Tutorvista: Theorem of medians of a triangle

META: Teoreem kolmnurkade mediaanist, mediaan, kesklõik, paralleelne, keskpunkt, tõestus, 8. klass, tõestamine, külje poolitaja

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s