Võrrandi sin (x)=m lahendamine


Võrrandil sin(x)=m on olemas lahendid vaid siis, kui |m|\le 1, sest alati -1 \le sin(x) \le 1. Võrrandi sin(x)=m lahendamine tähendab geomeetriliselt joonte y=sin(x) ja y=m lõikepunktide abstsisside leidmist. Nagu allolevalt jooniselt näeme, on neid lõpmata palju (punktide \ldots, A_1, A_2, A_3, \ldots abstsissid)

Võrrandi sin(x)=m üheks lahendiks on nurk \alpha = \arcsin m, kus -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}.

Et täisarvu k kordse perioodi 2\pi lisamisel argumendile siinusfunktsiooni väärtus ei muutu, siis on võrrandi sin(x)=m lahendeiks kõik nurgad x_1=\alpha+k\cdot 2 \pi, kus k \in \mathbb{Z}

Nurgad \alpha+2k\pi, k \in \mathbb{Z}, ei haara aga võrrandi \sin(x)=m kõiki lahendeid. Ka nurk \pi-\alpha on võrrandi \sin(x)=m lahend, sest \sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha=m. Lisades nurgale \pi-\alpha siinusfunktsiooni täisarvukordse perioodi saame, et võrrandi \sin(x)=m lahendeiks on ka nurgad

x_2=(\pi-\alpha)+k \cdot 2\pi = -\alpha + 2k\pi+\pi=-\alpha+(2k+1)\pi, k\in \mathbb{Z}

Jooniselt on näha, et rohkem lahendeid x_1 ja x_2 võrrandil \sin(x)=m ei ole.

Lahendeid x_1=\alpha + 2k\pi ja x_2=-\alpha + (2k+1)\pi ning \alpha = \arcsin m saab esitada üheainsa avaldisena, nn. üldlahendina kujul

x=(-1)^{n}arcsin (m) +n\pi, n\in \mathbb{Z}

Kui võrrandi \sin(x)=m lahendid leida kraadimõõdus, võib üldlahendi kirjutada kujul

x=(-1)^{n}\alpha +n\cdot 180^\circ, n\in \mathbb{Z}, -90^\circ \le \alpha \le 90^\circ.

Andes tähele n mingi kindla täisarvulise väärtuse, saame üldlahendist võrrandi ühe lahendi.

Lepmann, L., Lepmann, T. Velsker, K. (2001).  “Matemaatika 11. klassile”

META, siinus x, põhivõrrand, sin(x)=m, põhivõrrandi lahendamine, trigonomeetriline võrrand, üldlahend, siinuse üldlahend, kraadimõõt, radiaanmõõt

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s