Määramispiirkond – kuidas seda määrata?


Mis on viga neil keskkooli matemaatikaküsimustel ?

  1. Milline on funktsiooni  f(x)=\frac{1}{x} määramispiirkond?
  2. Millisel kohal funktsioon f(x)=\ln(x) määramata?
  3. Tee kindlaks funktsiooni f(x)=x^2 muutumispiirkond.

Neid küsimusi on õpetajal vaja pidevalt küsida ja seni ei ole minul probleemi olnud, samas nüüd tuleb hakata suhtuma neisse küsimustesse väikese ettevaatlikusega. Kas te näete, mis neil küsimustel viga on?

Määramispiirkond

Funktsioon on ainult siis hästi defineeritud, kui ta on defineeritud koos oma määramispiirkonnaga. Miks muidu algab analüüsis või algebras mõni funktsiooni puudutav tõestus alati sõnadega “Olgu meil antud funktsioon f:A\to B“.  Funktsiooniks f nimetatakse eeskirja kahe hulga A ja B vahel, mis seab iga hulga A elemendile vastavusse ühe kindla elemendi hulgast B . Hulka A nimetatakse määramispiirkonnaks (domain) ja hulka B sihthulgaks (codomain). Kui  f on funktsioon, mis kujutab hulga A elemente hulka B, märgime me sageli selle üles sümboliga f:A\to B. Võtame näiteks funktsiooni f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} defineeritud seosega f(x)=e^x

Selle funktsiooni määramispiirkond on \mathbb{R} kuna nii on see funktsioon defineeritud. Pange tähele, kuidas selgesõnaliselt anti funktsiooni määramispiirkond enne funktsiooni defineerivat reeglit. Tehniliselt peaks seda tegema alati kui mingit funktsiooni defineerida.

Me võime küsida õpilaselt, “Mis on määramispiirkond funktsioonil f(x)=e^x?”, kuid tegelikult on see vilets küsimus . Funktsiooni reegel ei ole iseenesest hästi defineeritud. Selle funktsiooni jaoks on olemas mitmeid võimalikke määramispiirkondi, näiteks täisarvudehulk \mathbb{Z}, positiivsete reaalarvude hulk \mathbb{R}^+, või 20 ja  30 vahel olevad ratsionaalarvud. Mida õpetaja ilmselt silmas peab, on “Mis suurim võimalik hulga \mathbb{R} alamhulk, mida saaks kasutada määramispiirkonnana reeglile f(x)=e^x?” Sel juhul oleks vastuseks, et \mathbb{R} ise.

Seega ma loodan, et te näete, miks küsimus (1) selle postituse alguses ei ole eriti täpne küsimus. Samuti ei ole ka küsimus (2) täpne . “Millisel kohal on \ln{x} määramata?” omab mitmeid erinevaid vastuseid. Õpetaja ootab ilmselt vastuseks (-\infty,0]. Küsimus oleks paremini sõnastatud nii: “Millised reaalarvulised väärtused ei saa olla \ln{x} määramispiirkonnas?”

Muutumispiirkond

Kuidas on lood muutumispiirkonnaga? Sihthulk näites f(x)=e^x on samuti \mathbb{R}. Kuid muutumispiirkond eeskirjal f on (0,\infty). Funktsiooni muutumispiirkonda defineeritakse kui hulka, kus iga  y\in B puhul leidub x\in A nii, et  f(x)=y.

Kui muutumispiirkond sõltub määramispiirkonna valikust. Seega küsides küsimust nagu on näiteks küsimus (3), “Teha kindlaks funktsiooni f(x)=x^2 muutumispiirkond” ei ole täpne samadel põhjustel, mida käsitlesime ülal. Ihaldatud vastus on ilmselt [0,\infty). Kuid määramispiirkond eeskirjal f(x)=x^2 võivad olla täisarvud, mille puhul oleks muutumispiirkonnaks ainult positiivsed täisarvud. Seega juhtum (3) puhul oleks palju täpsem küsimus “Tee kindlaks funktsiooni f(x)=x^2 muutumispiirkond, kus x\in\mathbb{R}.”

Kas me peaksime muutma õpetamist?

Võib olla ja võib olla mitte. Usun, et küsime siiski edasi küsimusi samal viisil nagu posti alustasime. Täpsemat küsimuste formuleerimine võib põhjustada ebavajalikku segadust paljude tudengite jaoks. Kuid meie õpetajad peaksime olema teadlikud oma väiksest ebatäpsest kõnemaneerist ja valmis andma täpsemaid vastuseid õpilastele, kes seda märkavad ja selle kohta küsivad.

Kasutatud materjal

Teaching domain and range incorrectly. (2011).

META: funktsioon, funktsiooni mõiste, määramispiirkond, lähtehulk, sihthulk, muutumispiirkond, eeskiri, matemaatiline keel.

Advertisements

Lisa kommentaar

Täida nõutavad väljad või kliki ikoonile, et sisse logida:

WordPress.com Logo

Sa kommenteerid kasutades oma WordPress.com kontot. Logi välja / Muuda )

Twitter picture

Sa kommenteerid kasutades oma Twitter kontot. Logi välja / Muuda )

Facebook photo

Sa kommenteerid kasutades oma Facebook kontot. Logi välja / Muuda )

Google+ photo

Sa kommenteerid kasutades oma Google+ kontot. Logi välja / Muuda )

Connecting to %s