Eesti majanduse matemaatiline mudel


Hetkel on 11. klassiga käsil trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. Enda kooliajast mäletan sellest osast ainult tohutul hulgal drillülesandeid, mida me nüüdki üpris palju teinud oleme. Otsisin internetist nende võrrandite rakendatavuse kohta ja leidsin ühest USA õppikust päris huvitava projekti. Oli antud USA tööpuudus ja ülesandeks oli modelleerida vastav trigonomeetriline funktsioon ning siis prognoosida erinevate tõusude ja mõõnade kordumist. Katsetasime sama ülesannet Eesti tööpuuduse prognoosimiseks. Esmalt said rühmad ette olukorra

Olukord:

Eesti on vaevelnud juba üle kahe aasta majanduskriisis. Töötus on kasvanud kõigi aegade rekordtasemele, ulatudes 2010 aastal 17,6%. Valitsuskabineti püüdlused töötust likvideerida ei ole seni vilja kandnud. Majandusteadlased oskavad ainult rääkida, et majandus on tsükliline ja majandusbuumile võib järgneda pehme või kõva maandumine nii aktsiaturgudel kui ka kinnisvaras. Eesti majanduse buum ja langus ei sõltu enam kaugeltki meist endist ega valitsuse silmapaistvast tööst, vaid protsessidest maailmas. Seetõttu palus peaminister appi uurimisrühma, kes töötaks läbi mitme aasta töötuse statistika ning koostaks mudeli, mis lubaks ennustada järgmist aega, kui töötus on taas alla 5%.

Esmaseks ülesandeks oli vaja leida endale sobiv funktsioon, mille järgi hakata tööpuudse trende prognoosima. Pooled grupid kasutasid selle jaoks Geogebra töölehte ja arvutit, pooled pidid kahjuks hakkama käsitsi õiget võrrandit leidma.

Uurimisülesanded

Järgnevas tabelis on toodud Eesti statistikaameti poolt kogutud info alates aastast 1993 kuni majanduskriisini tippajani (2009).

  • 15 MIN | Milline neist trigonomeetrilistest trendijoontest üldkujul r= a\cdot \sin(bt+d)+c sobiks kõige paremini Eesti tööpuuduse kirjeldamiseks, kus r on töötuse määr protsentides ja t aeg aastates, arvestades et t=0 vastab 1993 aastale? Arutage rühmas ja põhjendage oma vastust.
  1. r=7,6\sin(0,24t)+6.3
  2. r=7,4\sin(0,24t)+6,9
  3. r=5,2\sin(0,36t-0,7)+10
  4. r=5.2\sin(0,4t-0,7)+10
  5. Leidsin ise parema …

Selle kontrollimiseks ava Geogebra tööleht . Iga punkt väljendab ühte tabelis olevat aastat ja sellele aastale vastavat töötuse määra. Nii on punkt A koordinaatidega (0 ; 6,9), väljendades meie nullaasta (1993) töötuse määra 6,9%. Proovige liugureid liigutades saada võimalikult täpne punktide paiknemist kujutav graafik. Testige GeoGebraga antud nelja trendijoont või leidke ise täiesti uus. Koostage joone kohta esimese tabeliga sarnane tabel.

20 MIN | ARUANNE TULEMUSTEST

  • Kasutades konstrueeritud mudelit, leidke vastus küsimusele, mis aastal võiks tööpuudus taas langeda 2007 aasta tasemele.
  • Enne praegust olukorda oli töötus kõrgeim 2000 aastal (14,2%). Mis aastal alles oleks konstrueeritud mudeli järgi pidanud tööpuudus saavutama taas oma haripunkti.

Pakuksin välja ühe enda lahenduse. GeoGebraga testides jõudsin järeldusele, et parimaks sobivaks trendijooneks oli r=5,2\sin(0,36t-0,7)+10

Järgnevalt siis uurimisküsimus, et millal taas on tööpuudus nii madal, kui oli 2007 aastal ehk 4,9%. Kuna töötuse määr r on seotud ajaga t läbi funktsiooni

r=5,2\sin(0,36t-0,7)+10

ja tegu on trigonomeetrilise funktsiooniga, lahendame selle t suhtes ja leiame üldlahendi.

4,9=5,2\sin(0,36t-0,7)+10, millest

5,2\sin(0,36t-0,7)=-5,1 ja \sin(0,36t-0,7)=-0,98

Nüüd on see koht, kus arvuti oleks vaja ümber seadistada radiaanidesse, et arkussiinust võttes ei tekiks meile kraade. Nüüd \arcsin(-0.98)=-1.37 ja saame tegelikult juba välja kirjutada ühe kohmakal kujul üldlahendi.

0,36t-0,7=(-1)^{n}(-1,37)+n\pi

0,36t=(-1)^{n+1}1,37+n\pi+0.7  ja jagame läbi mõlemad pooled 0.36, saame (n\pi=n\cdot3,14159)

t=(-1)^{n+1}3,81+n\cdot 8,73+1.94, n\in\mathbb{Z}

Nüüd on meil aeg avaldatud ja madalaima töötuse tsükkel olemas. panen siinkohal ka ette graafiku, et siis analüüs paremini jälgitav oleks

Võttes n=0, saame ,et t=-3,81+1,94=-1,87. Mida see tulemus ütleb? Kuna baasaasta t=0 oli 1993, siis see tähendaks , et esimene kord oli töötus kõige madalam 1993- 1.87= 1991.13 ehk 1991 aasta jaanuari keskel. Kahjuks ei oska seda kommenteerida, kuna statistikaametis andmed puuduvad. Võtame n=1, saame, et t=3.81+1,94+8,73=14.48. See arv tähendaks, et baasaastast 14.48 aasta võrra hiljem, mis teeks 1993+14.48=2007,48. Täitsa klapib, sest 2007 peab olema meie lahendis sees. Edasi, n=2 saame, et t=-3.81+1,94+17,46= 15,53. Siit saaksime 1993 + 15,53=2008.53, mis tõlgendatult tähendaks 2008 aasta juuni. Järelikult meie mudeli järgi oleks tööpuudus pidanud veelgi 2007 ja 2008 aasta vahel langema.

Nüüd viimane ja tähtsaim küsimus, mida tahab peaminister teada. Millal uuesti on tööpuudus alla 5%. Mudeli järgi, kui n=3 saame

t=3,81+1,94+26,19=31,94 \approx 32

Tulemus tähendaks, et ligikaudu 32 aastat peale baasaasta, mis teeks 1993 + 32= 2025. Meie mudeli järgi oleks järgmine majanduse õitsengu aeg, kus tööpuudus oleks rekordmadal alles 2025 aastal. Eks paistab, kas see kõik ka paika peab. Hetke trendidega on tööpuuduse kas olnud küll prognoositavast kiirem, kuid kriisist taastumine ei pruugi nii kiiresti minna.

Kokkuvõte tööst

Taoliste uurimuslike tööde planeerimine on üpris töömahukas. Esmalt on vaja leida andmestik, mille punktiparvele oleks võimalik leida trigonomeetrilise funktsiooni lähend. Võib ise midagi tekitada, aga ise tahtsin võimalikult eluliste andmetega teha. Kuna EXCELIS ei olnud trigonomeetrilist trendijoont, pidi otsima programmi, millega seda lähendit leida. GeoGebra sobis siinkohal hästi, aga segaduse vähendamiseks likvideerisin andmetest “müra”. Seetõttu on andmetabel selline imelik.

Teatud aeg läheb organiseerimise peale ( rühmad, paberid, mida kirja on ikka vaja panna jne). Kuna tänagi juhtus, et pooltel oli läpakas, pooltel mitte ( kuigi oleks pidanud olema), on vaja mõelda alati välja variandid A, B, C. Antud juhul pidid arvutita õpilased kõike käsitsi paberi peal tegema. Variandile B tulin alles täna hommikul. Dünaamilise töölehe tegemine võttis omajagu aega.

45min jääb väheks. Grupid töötasid ilusti, aga tunni lõpuks jõudsime kahjuks ainult õige funktsiooni väljavalimiseni. Paaristunniga oleks ilmselt jõudnud ka arvutada, millal võib taas 4,9% tööpuudust oodata.

Kuid siiski arvan, et taoline töö pakub meeldivat vaheldust rutiinsele drillimisele.

META: trigonomeetriline võrrand, trendijoon, trigonomeetriliste võrrandite kasutamine elulistes ülesannetes, sin x=m lahendamine, radiaan

Kasutatud materjalid

Tamming, A. (2007). Majanduse tsüklilisus. Mis see on? [WWW] http://www.kool.ee/?7873

Eesti Statistika [WWW] http://www.stat.ee/

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s