Platoni ristjalg


Üks kolmest vanaaja lahendamata probleemist on kuubi duplikatsiooni e. Delose ülesanne. Selle aluseks on Vana-Kreeka legend, mis jutustab järgmist.

Delose saarel võimutsenud kunagi must surm – katk. Hirmunud saarlased tulid saare kaitsejumala Apolloni templisse, et preestrite suu läbi küsida, kuidas jumalalt armu saada ja inimesed nakkusest ning surmast päästa. Apollon nõudis, et suurendataks templi kuubikujulist ohvrialtarit täpselt kaks korda. Inimesed panid templisse teise täpselt niisama suure kuubikujulise altari, kuid must surm jätkas laastamistööd. Selgus, et Apollon oli nõudnud muud: altarit oli vaja küll kaks korda suurendada, kuid nii, et tema geomeetriline kuju jääks muutumatuks.

See ülesanne on küll sirkli ja joonlaua abil lahendamatu, kuid ometi leidub näiteid, kuidas probleemi püüti lahendada teiste meetoditega. Platon olevat kasutanud kõrvaloleval joonisel kujutatud ristjalga. Ristjalg tuleb konstrueerida selliselt, et üks õlg läbib ristjala tippu C, teine tippu B. Siis lõik OB = x, oleks uue kuubi külg ja EO templis olnud kuubi külg. Saadud küljega kuubi ruumala oleks kaks korda suurem antud esialgse kuubi ruumalast a^3. Tõepoolest, täisnurksetest kolmnurkadest EBC ja BCF järeldub, et

x^2=ay (teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest)

ning samal põhjusel

y^2=2ax

Esimesest võrdusest saame, et y=\frac{x^2}{a}. Asendades selle y väärtuse teise võrdusesse, saame \frac{x^4}{a^2}=2ax ehk x^3=2a^3.

Teoorias on kõik ilus, aga kuidas ristjalg ikkagi töötab. Otsisin netist mõnda head joonist, aga jäigi see leidmata. Kasutan siis oma konstruktsiooni.

Ristjalg koosnes ühest statsionaarsest osast, mis oli sarnane tööõpetuses kasutatava “nurgikuga” (vähemalt me kutsusime nii seda puust täisnurga mõõtmiseks kasutatavat riistapuud) ja teisest liikuvast osast, mis fotol on hallilt tähistatud. Millised andmed kreeklastel olemas olid? Oli olemas antud kuubi külg a ja siis selle külje kahekordne 2a. Teljed võisid nad joonestada risti selle sama ristjalaga. Rohkem polnud neil kuskilt andmeid võtta. Kui me teooriat vaatame, siis on lahendus lõigu pikkus tipust B kuni telgede ristumiskohani. Samas üks õlg peaks läbima tippu C. Nagu jooniselt näha, panin ma alguses suvaliselt ristjala peale ja kuigi tipp B asub vajalikul teljel, ei läbi üks õlgadest sugugi tippu C.  Nii hakkasidki kreeklased siis ristjala abil asju rihtima ja õigeks ajama.

Esmalt nihutati statsionaarset osa teljestikus üles/alla, siis nihutati jälle vähehaaval liikuvat osa, kuni lõpuks saadi olukord nagu on näidatud kõrval oleval joonisel joonisel. Ristjala õlad läbivad ristjala tippe ja lõikude a ning 2a täpselt ristjala sisemisi servasid. Nüüd lõik, mis jääb tipust B kuni ristumiskohani on otsitava kuubi külg (esimesel joonisel x) . Lõik tipust C kuni ristumiskohani on esimesel joonisel tähistatud tähega y. Sättimisega võib näha küll natuke vaeva ja võib olla ei ole tulemus matemaatiliselt kuigi täpne, kuid praktikas vajaliku täpsuse saamiseks on antud meetod täiesti sobilik. Muidugi ei ole tegu ainsa võimaliku meetodiga.

Kasutatud materjalid:
Kariste, K. Ajalugu matemaatilises hariduses: magistritöö. Tartu Ülikool, Tartu 2011

META: Platon, Delian problem, Delose ülesanne, kuubi duplikatsioon, sirkli ja joonlauaga lahendamatu probleem, kolm vanaaja lahendamatut ülesannet, kuubi ruumala kahekordistamine, Platoni ristjalg, Apollon

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s