Siinusteoreem


Iga kolmnurga võime kõrguse abil tükeldada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks ning arvutada viimastest antud kolmnurga puuduvad põhielemendid. Kolmnurga otsene lahendamine (puuduvate põhielementide leidmine antud põhielementide kaudu) on siiski lihtsam. Selleks vajame lisaks seniõpitule veel mõningaid kolmnurga elementide vahelisi seoseid. Sageli kasutatavaks seoseks on nn. siinusteoreem:

TEOREEM  (Siinusteoreem) Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurga siinustega.

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}

TÕESTUS: Olgu antud kolmnurk ABC külgedega a, b, c ja nende vastasnurgad α, β, γ. Peame näitama nüüd, et \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}.

Selleks kirjutame kolmnurga ABC pindala välja kolm korda, iga kord erineva külje kaudu. Tulemused on muidugi võrdsed.

\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{1}{2}bc\sin\alpha

Korrutame saadud võrdusi 2-ga ning seejärel jagame korrutisega abc:

\frac{ab\sin\gamma}{abc}=\frac{ac\sin\beta}{abc}=\frac{bc\sin\alpha}{abc}.

Taandades igas murrus vastavad elemendid järeldub siit

\frac{\sin\gamma}{c}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}, ehk \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\clubsuit

Võrde kolme antud liikme järgi saame arvutada neljanda. Järelikult võimaldab siinusteoreem [1]

1)      arvutada kolmnurga külge, kui on teada kaks nurka ja ühe antud nurga vastaskülg;

2)      arvutada kolmnurga nurka, kui on teada kaks külge ja ühe antud külje vastasnurk

Kasutatud materjalid

Eteverk, E., Teeäär, A., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Tallinn: Valgus, 1974.

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Kd. 2. Tallinn: Koolibri, 2000.

META Siinusteoreem, siinusteoreemi tõestus, kolmnurga lahendamine, kaks külge ja ühe külje vastasnurk, külje seos vastasnurgaga,

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s