Siinusteoreem


Iga kolmnurga võime kõrguse abil tükeldada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks ning arvutada viimastest antud kolmnurga puuduvad põhielemendid. Kolmnurga otsene lahendamine (puuduvate põhielementide leidmine antud põhielementide kaudu) on siiski lihtsam. Selleks vajame lisaks seniõpitule veel mõningaid kolmnurga elementide vahelisi seoseid. Sageli kasutatavaks seoseks on nn. siinusteoreem:

TEOREEM  (Siinusteoreem) Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurga siinustega.

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}

TÕESTUS: Olgu antud kolmnurk ABC külgedega a, b, c ja nende vastasnurgad α, β, γ. Peame näitama nüüd, et \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}.

Selleks kirjutame kolmnurga ABC pindala välja kolm korda, iga kord erineva külje kaudu. Tulemused on muidugi võrdsed.

\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{1}{2}bc\sin\alpha

Korrutame saadud võrdusi 2-ga ning seejärel jagame korrutisega abc:

\frac{ab\sin\gamma}{abc}=\frac{ac\sin\beta}{abc}=\frac{bc\sin\alpha}{abc}.

Taandades igas murrus vastavad elemendid järeldub siit

\frac{\sin\gamma}{c}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}, ehk \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\clubsuit

Võrde kolme antud liikme järgi saame arvutada neljanda. Järelikult võimaldab siinusteoreem [1]

1)      arvutada kolmnurga külge, kui on teada kaks nurka ja ühe antud nurga vastaskülg;

2)      arvutada kolmnurga nurka, kui on teada kaks külge ja ühe antud külje vastasnurk

Kasutatud materjalid

Eteverk, E., Teeäär, A., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Tallinn: Valgus, 1974.

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Kd. 2. Tallinn: Koolibri, 2000.

META Siinusteoreem, siinusteoreemi tõestus, kolmnurga lahendamine, kaks külge ja ühe külje vastasnurk, külje seos vastasnurgaga,

Advertisements

Lisa kommentaar

Täida nõutavad väljad või kliki ikoonile, et sisse logida:

WordPress.com Logo

Sa kommenteerid kasutades oma WordPress.com kontot. Logi välja /  Muuda )

Google+ photo

Sa kommenteerid kasutades oma Google+ kontot. Logi välja /  Muuda )

Twitter picture

Sa kommenteerid kasutades oma Twitter kontot. Logi välja /  Muuda )

Facebook photo

Sa kommenteerid kasutades oma Facebook kontot. Logi välja /  Muuda )

w

Connecting to %s