Arnauldi paradoks


Tutvusin just negatiivsete arvude ajalooga. Võib olla pole paljud teist kuulnud, kuid negatiivseid arve hakati aktsepteerima alles 19. sajandil ja iroonilisel moel tänu sellele, et matemaatika muutus üha abstraktsemaks. Mind ennast jäi kõige rohkem häirima loetud Arnauldi paradoks, mille püstitas prantsuse matemaatik Antoine Arnauld (1612-1694). Ta väitis nimelt

Kui -1<1, siis suhe (-1):1 = 1:(-1), mis väidab, et väiksema arvu suhe suuremasse on sama, mis suurema arvu suhe väiksemasse, on absurd.

Oleksin huvitatud erinevatest arvamustest, mis siin valesti on, kui üldse on?

 

3 thoughts on “Arnauldi paradoks

  1. Pikkuste suhete puhul mõeldakse suurusest ehk absoluutväärtusest. Selliselt polekski midagi valesti selle lausega. St et kui ma võrdlen kahte pliiatsit ja leian nende suhte, siis ma tahangi sama suhet kui ma ühe pliiatsi ümber keeran.
    Sama probleem on praegu kompleksarvudega, et kuidas saavad eksisteerida mingid arvud või suurused kui neid ei saa järjestada… Võib küll tunduda absurd, aga samas kaugus nullpunktist on suht mõistlik mõista (vektori jõu suurust kirjeldab hästi näiteks) ja igast kasulik igal pool.

  2. Selle paradoksi mõistmiseks soovitan lugeda Priit Pärna raamatut “Tagurpidi”. Nii “meie” kui “nende” maailm on eraldi võttes täiesti loogilised. Näiteks positiivsete arvude puhul kehtib seadus: mida suurem on lugeja, seda suurem on suhe. Sellele vastab duaalne seadus negatiivsete arvude puhul: mida väiksem on nimetaja, seda väiksem on suhe. Probleemid tekivad aga siis, kui positiivse maailma elanik astub negatiivsesse maailma, ja Priit Pärna raamat seletabki seda väga hästi.

    Kui me läheme reisile võõrale (st päris võõrale) maale, siis tunduvad tolle maa elanike kombed, mis neile endile on täiesti normaalsed, meile kummalised. Meie parim strateegia asjadest aru saada on võtta üle sealsed kombed, st kohaneda selle maa loogikaga. Kui tahame samal ajal säilitada ka oma maa loogika, näiteks reisime pidevalt kahe maa vahel, siis peame mõistma, et meie maa on ainult üks osa suuremast tervikust ning see, mida oma maal peame enesestmõistetavaks, ei tarvitse laiemas, mõlemat maad haaravas tervikus enam kehtida. Seega jah, väiksema arvu suhe suuremasse võib olla ka sama mis suurema arvu suhe väiksemasse.

    Käibetõdede külge klammerdumine on inimesele väga omane. Hea on see selle poolest, et aitab kultuuri edasi kanda, mistõttu järgnev põlvkond ei pea üha uuesti samadele probleemidele lahendusi leiutama. Halb on aga see, et nii väheneb motivatsioon otsida olemasolevate lahenduste asemele uusi ja paremaid või püüda maailma mõista sügavamalt. Seega on vastuolude säilimine üks arengu eeldusi ja sellepärast on hea, et vastuolud ilmnevad juba sellises fundamentaalses valdkonnas nagu matemaatika.

  3. Tänud Reimo sellise põhjaliku ja informatiivse kommentaari eest. Proovin selle raamatu hankida ja läbi lugeda.

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s