Arvusüsteemid. Kahendsüsteem


Loodus on andnud inimesele viis sõrme ühel käel, kümme kahel käel kokku ja kakskümmend kokku koos mõlema jala varvastega. Kasutades seda looduse andi, arvutas inimene viie, kümne või siis kahekümne kaupa. Ainult kord ajaloos on inimene sellest reeglist taganenud: vanas Babüloonias arvutati kuuekümne kaupa.

Õppinud arvutama, pidi inimene õppima arve ka mingite märkidega üles kirjutama. Seal, kus arvutamise aluseks oli kümme, pidi inimene leidma kümme arvumärki, mida hiljem hakati nimetama numbriteks; seal, kus alusarvuks oli võetud arv viis – viis märki, aga seal, kus alusarvuks oli võetud kuuskümmend, tuli leida teine lahendus, kuid sellest me siin praegu rääkima ei hakka.

Pärast pikaajalist võitlust mitme koolkonna vahel võitis kogu tsiviliseeritud maailmas kümnendsüsteem ja võeti kasutusele Indias leiutatud numbrimärgid, mille laenasid araablased ning mis seejärel juba Araabiamaade kaudu XIII sajandi matemaatiku ja kaupmehe Leonardo Fibonacci vahendusel Euroopasse jõudsid. Meile on need märgid hästi teada: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Need märgid ja positsioonisüsteem, mis tähendab seda, et igal numbril on oma kindel tähendus mitte ainult sõltuvalt graafilisest kujust, vaid ka kohast (positsioonist), millel ta asub teiste numbrite suhtes, rahuldas täielikult  tavalisi inimesi ja õpetlasi kuni selle ajani, mil ilmusid arvutid.

Arvude kümnendsüsteemis tähendab mitmekohalistes numbrites ühelist ainult paremalt esimene number. Paremalt teisel kohal number (teine positsioon) näitab kümnelisi, kolmandal kohal kohal – sajalisi, neljandal kohal – tuhandelisi jne. Ühesõnaga, iga järgmine koht kuulub arvu 10 järgmisele astmele. Näiteks

20456=2\cdot10^4+0\cdot10^3+4\cdot10^2+5\cdot10^1+6\cdot10^0

(0 tähendab seda, et antud positsioonil ei ole ühtki arvu 10 astet, meie näites puudub 10 kolmandas astmes).

Arvutites osutus kümnendsüsteemi kasutamine väga ebamugavaks puhttehnilistel põhjustel: see vajanuks erakordselt keerulisi seadmeid. Seepärast loobusid konstruktorid kümnendsüsteemist. Elektronarvutites on arvud kirjutatud elementide abil, millel võib olla kaks püsivat seisundit. Kõige lihtsamaks osutus positsiooniline arvusüsteem, milles on vaja vaid kaht numbrit. Kõik aritmeetikatehted on selles süsteemis väga lihtsad, aga see, et nad sisaldavad palju märke ja näevad välja hirmuäratavalt pikad, ei valmista arvutile mingeid raskusi, sest arvuti sooritab tehteid silmapilkselt.

Kuidas kirjutame kahendarve?

Kahendsüsteem kasutab ainult kaht numbrit

0 ja 1

See on nn. positsiooniline arvusüsteem. Esimene number paremalt tähistab ühte, teine number paremalt – kahte. See 2 kirjutatakse kujul: 1 0 (kaks esimeses astmes), kolmas koht paremlt tähendab nelja, kirjutatakse 100; neljas kohta 8, kirjutatakse 1000; viies koht 16, kirjutatakse 10000 jne. Iga järgmine koht kuulub kahe järgmisele astmele. Kahendsüsteemis saab kirjutada iga arvu. Näiteks kirjutist 110101101 tuleb mõista järgmiselt

1\cdot2^8+1\cdot2^7+0\cdot2^6+1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=256+128+0+32+0+8+4+0+1=429

Nagu näeme, koosneb arv 429 kahendsüsteemis väljendatult kümnest märgist (järgust). Arv kujul 100100 tähendab

1\cdot2^5+1\cdot2^2=32+4=56

Arv 36 kirjutatakse kahendsüsteemis kuuemärgilisena.

Audio bitisügavus (Audio bit depth)

Tänapäeva digitaalses audios kasutatavad bitisügavused on 8-bit, 16-bit ja 24-bit. Mida need suurused täpsemalt tähistavad või tähendavad? Vanasti kasutati arvutitel perfokaarte. Need olid pikad ja täidetud tavaliselt pesadega, mis olid vastavalt arvuti programmile kas augustatud või täis. Tänapäeva arvutid töötavad samasugusel tööpõhimõttel, kuigi enam paberit perfokaarte neis ei kasutata. 1bit infot ongi selles ühes augus sisalduv info. 8bit infot on 8 augus sisalduv info. Täis oleva augu tähistab arvuti arvuga 1 ja tühja arvuga 0. 8bitised infokogumid koosnevad kahendsüsteemi arvudest 00000000 kuni 11111111. WolframAlpha annab, et kahendsüsteemi arv

11111111 base 2 =255

See tähendab, et 8bitises helis on meil võimalik 255 tooniastet. Üks variant on puudu siit veel puudu. Lisades juurde variandi 00000000 saame 256, mis teebki lõlikuks summaks 256 tooni astet.

Standardsel audio CD-l on bitisügavuseks 16bit, mis teeks

1111111111111111 base 2= 65535

Ka siin on lisamata versioon kahendsüsteemi arvust 0000000000000000, mis teeks lõplikuks toonide arvuks . Juba suurem võimalus helisid eristada ja seega ka puhtamat heli mängida.

Analoogia kehtib värvide bitisügavuse juures. Ilmselt oleme kõik monitori seadistades märganud võimalikke valikuid 8, 16, 24 ja 32bitise värvisüsteemi vahel. Milles seisneb siinkohal erinevus. Joonis x illustreerib seda erinevust hästi. Kõige viletsama kvaliteediga 1bitine must/valge kahe värviline skaala. Natuke parema kvaliteediga juba 8bitine must/valge pilt, kus on juures erinevad halltoonid. 8bitise ja 24 bitise värviliste piltide vahel on samuti märgatav erinevus. 8bitine pilt on tuhm luitunud, kui 24bitine selge ja terav. Põhjus on muidugi arve vaadates ilmne. Teisel juhul on üle 15 miljoni värvi rohkem kasutatud kui esimesel juhul.

Asume nüüd ühe tänapäeva põletavama küsimuse juurde, mida peaks teadma uue arvuti ning operatsioonisüsteemi Windows ostmisel.

Mis vahe on 32bitisel (x86) või 64(x64) bitisel operatsioonisüsteemil?

Vastus on tegelikult puhtmatemaatiline. teisendades WolframAlphas 32-st ühest koosneva kahendsüsteemi arvu kümnendsüsteemi, saame vastuseks

11111111111111111111111111111111 base 2 = 4294967295

Mis tähendab, et 32bitine operatsioonisüsteem suudab pöörduda maksimaalselt 4Gbit füüsilise mälu poole (RAM).

Kuidas teisendada arv kümnendsüsteemist kahendsüsteemi?

On antud arv 543, väljenda see kahendsüsteemis. Selleks tuleb 543 jagada 2-ga:

Jagades sel viisil lõpuni, saame järgmise pildi:

Kirjutame kõik jäägid välja vastupidises järjekorras (alt üles), saame 1000011111. See ongi arv 543_2 (indeks 10 meenutab meile, et arv on kirjutatud kümnendsüsteemis).

Kontrolltööks harjutamiseks võiksharjutada mänguga Cisco Binary Game

META: kahendsüsteem, kümnendsüsteem, kümnendsüsteemi arvu teisendamine kahendsüsteemi, kahendsüsteemi rakendused, kahendarv, audio bitisügavus, bit, bait, kümnendsüsteemi teisendamine kahendsüsteemi.

One thought on “Arvusüsteemid. Kahendsüsteem

  1. Tere

    Leidsin teie artiklist vea nimelt teil on pandud 2*10 ruudus aga peaks olema 2*10 neljandas

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s