Ruut ja asjad. Ruutvõrrandi ajaloost


Sõna “algebra” tuleb ühe Araabiakeelse raamatu pealkirjast, mis on kirjutatud aastal 825. Autor, Muhammad Ibn-Musa Al-Khwarizmi, sündis ise aladel, mis kannab praegu Usbekistani nime. Suure osa elust veetis ta siiski Baghdadis, kus kaliif oli rajanud omamoodi teadusteakadeemia, mida kutsuti “Tarkuse majaks”. Al-Khwarizmi tegeles paljude aladega. Ta kirjutas geograafia, matemaatika kui ka astronoomia alaseid raamatuid. Kuid tema raamat algebrast on saanud siiani kõige kuulsamaks.

Al-Khwarizmi raamat algab arutlusega ruutvõrrandist. Nimelt vaatleb ta ühte kindlat probleemi.

Miskit tõstetud ruutu ja 10 juurt sellest samast suurusest on võrdne 39 dirhemiga. Kui öelda lihtsamalt, mida peab tõstma ruutu, mis siis 10 võrra kasvades oma enda juure võrra, on kokku 39.

Keeruline sõnastus, kuid tänapäeva sümbolitesse panna, siis olgu “miskiks” muutujaks x. “Miski tõstetud ruutu” võime tähistada x^2 ja kuna juur miskist on samuti miski ise ehk x, siis 10 juurt juurde lisada tähendab 10x. Kõik kokku panna saame ruutvõrrandiks x^2+10x=39. Kuid algebralisi sümbolite leiutamiseni läks veel aega. Seega sai Al-Khwarizmi kõike lahendada ainult sõnaliselt.

Lahendus on järgnev: Sa poolitad juure ees oleva arvu, mis tähendaks siis arvu 5. Selle arvu korrutad sa iseendaga ja saad korrutiseks 25. Lisa see juurde arvule 39 ja saad summaks 64. Nüüd võta sellest juur, mis on 8 ja lahuta pool numbrit saadud ruudust, mis oli 5. Saad jäägiks 3. See on vastus ruudule, mida otsisid. Ruut ise on 9.

Nüüd toome ka välja arvutuskäigu meie endi sümbolites:

x=\sqrt{5^2+39}-5=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3

Pole raske näha, et tegu on põhimõtteliselt taandatud ruutvõrrandi lahendivalemiga, mida me tänapäeval tunneme. Ruutvõrrandi x^2+bx=c lahendamiseks kasutas Al-Khwarizmi reeglit

x=\sqrt{(\frac{b}{2})^2+c}-\frac{b}{2}

 Suurim erinevus selle ja tänapäeva valemi vahel on, et me nüüd arvestame nii positiivseid kui negatiivseid ruutjuuri. Kuid negatiivsete ruutjuurte võtmine annaks x negatiivseid väärtusi, mida selle aja matemaatikud veel ei uskunud ega tunnistanud. Hooliti ainult positiivsetest juurtest. Tänapäeval pannakse “-b” osa tavaliselt valemi algusesse. Al-Khwarizmi pani selle valemi lõppu, sest alguses oleks see jälle tähendanud negatiivset arvu.

Kui me asetame -b nüüd valemi ette ja lisame juurde \pm juure ette ja võtame arvesse c märgi ning teeme väikesed algebralised operatsioonid, saab tema valemist

x=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{b}{2}^2+c}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4c}}{2}

(Kordaja a on valemist kadunud, sest antud juhul on a=1)

Kuid ta ei jätnud asja nii. Ilmselt tundis Al-Khwarizmi, et ta peaks selgitama, miks ta valem töötab. Algebra asemel kasutas ta kõigile silmaga nähtavaid geomeetrilisi argume . Ta sõnastas asja nii:

Esmalt on meil olemas ruut ja ja 10 juurt. Selle kujutamiseks joonestame ruudu, mille külge me veel ei tea. Tähistades külje tähega x, saame ruudu pindalaks x^2. Saamaks juurde 10x, me joonestame ristküliku, mille üks külg on võrdne suurusega x ja teine suurusega 10 nagu näidatud esimesel joonisel.

Võrrand ütleb meile, et terve kujundi pindala on 39. Võrrandi lahendamiseks, mis tähendab x leidmist, lõikame esmalt juurte osa kaheks. geomeetriliselt tähendab see, et me lõikame ristküliku kaheks osaks ( joonis 2).

Edasi nihutame ühe pooliku ristküliku ruudule põhjaks nagu tehtud joonisel 3. Terve pindala on ikka veel 39. Kuid märkame, et väikese  ruudu lisamine, mis on puudu alumisest paremast nurgast, moodustab meile suure ruudu. Kuna mõlemad ristkülikud on küljepikkusega viis, siis väikese ruudu pindala on 25 (joonis 4). Kui me täiendame antud võttega esialgse kujundi ruuduks, saame selle pindalaks 39+25=64. Kuid see tähendab, et külje pikkuseks uuel ruudul on 8. Kuna suure ruudu pikkuse võib esitada kujul x+5, võime järeldada, et x+5=8. Siit juba edasi saame esialgse ruudu küle pikkuseks x=3.

Iga samm Al-Khwarizmi reeglis vastab geomeetrilisele versioonile ja geomeetriline versioon näitab täpselt, mis toimub ja miks see töötab. Nagu eelnevalt mainitud, töötas Al-Khwarizmi juhtiva kordajaga 1. Tänapäeval on meil teada ruutvõrrandi valem ax^2+bx+c=0, mille kordaja võib olla ükskõik milline. Al-Khwarizmi oleks sellega tegeledes ilmselt kogu võrrandi kordajaga a läbi jaganud.

Peale Al-Khwarizmi aega kirjutasid paljud teised ruutvõrrandist. nende meetodid ja geomeetrilised põhjendused muutusid üha keerulisemaks, kuid põhiidee ei muutunud kunagi. Isegi näide jäi samaks. 9. sajandist kuni 16. sajandini algasib peaaegu kõik algebra raamatud ruutvõrrandi lahendamise arutlusega ja näitega “ruut ja 10 juurt on võrdsed 39-ga”.

17. sajandi alguses tulid matemaatikud lagedale ideega kasutada tähti numbrite märkimiseks. Aeglaselt hakkas kujunema traditsioon tähistada tähestiku viimaste tähtedega muutujaid ja tähestiku esimeste tähtedega antud suurusi. Lõpuks märkasid Thomas Harriot ja Rene Descartes, et palju lihtsam on kirjutada kõiki võrrandeid üles kujul miski = 0. Peamiseks eeliseks oli, et nüüd võis käsitleda ax^2+bx=c ja ax^2+c=bx üldvõrrandi ax^2+bx+c=0 erijuhtudena. Ja üldvõrrandi lahendivalemit

x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}

me juba teame.

Kuidas antud valem saadakse?

Lühidalt käime üle peamised ideed.

  1. a-ga jagamine : Viime selle taandatud ruutvõrrandiks
  2. x kättesaamiseks vasakule poole täisruudu organiseerimine
  3. ruutjuur ( diskriminant)
  4. lihtsustamine, x avaldamine

Edu

Kasutatud materjal

Berlinghoff, W. (2004). Math through the Ages: A Gentle History for Teachers. Farmington: Oxton House Publishers

———————————————————————————–

Meta: ruutvõrrand (quadratic equation), ruutvõrrandi lahendivalem ( quadratic formula), taandamata ruutvõrrand, taandatud ruutvõrrand, diskriminant, ühine nimetaja, Al-Kwarizmi, ruutvõrrandi ajalugu, araabia matemaatikud, ruutvõrrandi lahendamine, kuidas lahendada ruutvõrrandit, ruutvõrrandi geomeetriline selgitus.

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s