Avaldised


Ratsionaalavaldised

Ratsionaalavaldiseks nimetatakse avaldist, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvuga.

Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega.

Avaldist kujul \displaystyle\frac{a}{b} , kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks.

Ratsionaalavaldiseks lihtsustamine tähendab tema teisendamist võimalikult lihtsaks algebraliseks murruks või täisavaldiseks.

Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega. Need tehted on määratud järgmiste valemitega:

\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

\displaystyle\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}

\displaystyle(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}

\displaystyle\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k} , kus k\neq 0

Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Selleks tegurdatakse kõigi murdude nimetajad. Üheks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgemad astmed. Laiendaja leidmiseks jagatakseühine nimetaja vastava murru nimetajaga.

a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)

\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) , kus x_1;_2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Irratsionaalavaldised

Nii nagu reaalarvud jaotuvad ratsionaal- ja irratsionaalarvudeks, nii jagunevad ka avaldised ratsionaalavaldisteks ja irratsionaal- ehk juuravaldisteks. Vastupidiselt ratsionaalavaldistele sisaldavad irratsionaalavaldised ka juurimistehet.

Irratsionaalsete muutujaid sisaldavate avaldiste teisendamisel jääb kehtima kõik,  mis on seotud ratsionaalavaldiste teisendamisega. Samuti jääb kehtima ka kõik astendamise ja juurimisega seotu. Oluliseks erinevuseks irratsionaalavaldiste puhul on vaid see, et ilma avaldistele tingimusi juurde lisamata eeldatakse tavaliselt, et muutujad avaldistes omavad vaid selliseid väärtusi, mille korral kõik juuritavad on positiivsed.

Irratsionaalavaldiste tegurdamine

Irratsionaalavaldiste, nagu ka ratsionaalavaldiste lihtsustamisel tuleb algebraliste murdude taandamisel ja ühenimeliseks teisendamisel avaldisi tegurdada. Juuravaldiste tegurdamisel saame kasutada sulgude ette toomist, korrutamise abivalemeid ja rühmitamist.

Näited:

1) \sqrt[3]{a^2\cdot b}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{ab}-1)

2) a-\sqrt{a}=(\sqrt{a})^2 -\sqrt{a}=\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)

3) 2+\sqrt[3]{4}=(\sqrt[3]{2})^3 +(\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{2^2}(\sqrt[3]{2}+1)=\sqrt[3]{4}(\sqrt[3]{2}+1)

4)\sqrt{x+1}-x-1=\sqrt{x+1}-(\sqrt{x+1})^2=\sqrt{x+1}(1-\sqrt{x+1})

5)\sqrt{ab}-\sqrt[3]{a^2\cdot b}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^3}-\sqrt[6]{a^4\cdot b^2}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}(\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a})

Murru nimetaja vabastamist irratsionaalsuset

See on teisendus, kus osa irratsionaalseid algebralisi murde laiendatakse nii, et juured kaovad murru nimetajast.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META:  avaldis, irratsionaalavaldis, ratsionaalavaldis, juuravaldis, avaldiste lihtsustamine, täisavaldis, murdavaldis,

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s