Negatiivsetest arvudest


Negatiivsete arvude ajalugu on üks huvitavamaid peatükke matemaatilise mõtte järjepidevas arengus, illustreerides matemaatiliste mõistete muutumist. see annab tunnistust ühiskonna tootlike jõudude arengu ja matemaatika progressi vastastikusest seosest, kinnitab veel kord, et teooria väärtuse peamine kriteerium on praktika: inimkond ei tahtnud ju tunnistada negatiivsete arvude olemasolu seni, kuni polnud tekkinud konkreetset, ühiskondlikest nõudeist ja tootmisest tulenevat vajadust nende kasutamiseks.

Kreeka matemaatika

Vanaaja matemaatikud ei tegelenud üldse negatiivsete arvudega. kreeka matemaatikud tunnistasid ainult naturaalarve ja kuigi nad tundsid murde, ei pidanud nad neid arvudeks, vaid madalama järgu ühikuteks, midagi selles laadis nagu kõige väiksemad mõõdu-, kaalu- või rahaühikud. esimene kreeka matemaatik, kes arvas murrud võrdseks teiste arvudega, oli Diophantos Aleksandriast. Diophantos eristas “liidetavaid” ja “lahutatavaid” ning tähistas mahaarvatavad arvud sümboliga \psi. Ta käsitles ka “liidetavate” ja “lahutatavate” korrutamise reeglit. Kuid Diophantos piirdus ainult nende juhtumitega, mil vähendatav oli vähendajast suurem ja mis veel tähtsam: ta seadis vaadeldavatele võrranditele tingimuseks, et võrrandite kordajad oleksid alati positiivsed arvud. kui sattuski tulema negatiivne lahend, luges Diophantos selle vääraks ja jättis lihtsalt kõrvale

India matemaatika

India matemaatikud jõudsid tehetes negatiivsete arvudega veidi kaugemale. Brahmagupta (sünd 598.a.) kasutas arvutustes tänapäeva mõistes negatiivsetele arvudele sarnaseid arve, mida ta tähistas punktiga arvu kohal. india matemaatikutel olid eri nimetused positiivsete ja negatiivsete arvude tarvis, need tähendasid vastavalt “varandust” ja “võlga”. India matemaatikud tundsid ka võrrandite negatiivseid lahendeid, kuid jätsid need kõrvale, sest inimesed ei tunnistanud negatiivseid arve.

Negatiivsed arvud avastati enne õiget aega

Möödus palju aega, enne kui matemaatikud XIII sajandil, eriti XV sajandi lõpul, huvitusid uuesti negatiivsetest arvudest, leides neile hulgaliselt kasutamisvõimalusi. Nii tulid negatiivsed arvud matemaatikasse alles 9. sajandit pärast avastamist.

Araabia matemaatika

III-IV sajandi kreeka matemaatikast on vähe teada. See oli aeg, mil sisemistest vastuoludest lõhestatud orjanduslik kord elas üle oma langust. Bütsantsis, Ida-Rooma riigis, andis keiser Justinianus I (527-565) välja üha rangemaid õpetust piiravaid seadusi. 529. aastal keelas ta Ateenas filosoofia õpetamise. Ateenas välja antud Justinianuse koodeksi peatükis “Kurjasepitsejad, matemaatikud ja muud nendetaolised isikud” oli lause: “Enne kõike keelatakse laitust vääriv matemaatikakunst.” Sel ajal käisid alla kõik teadused, teiste hulgas ka matemaatika.

Vanaaja õpetlaste loomingu säilitasid araablased, kes olid teadmistele erakordselt vastuvõtlikud ning omandasid alistatud rahvaste vaimuvara õige kiiresti. kaliif Harun ar-Rašid ja tema poja al-Mamuni valitsemise ajal tõlgiti araabia keelde peaaegu kõik vanaaja klassikute teaduslikud tööd.

Araabia matemaatika arenes kreeka ja india matemaatika baasil. Selle silmapaistvamaks esindajaks tõusis matemaatik, astronoom ja geograaf Muhammad Ibn-Musa Al-Khwarizmi.

Al-Khwarizmi oli esimene matemaatikaõpiku “Taastamisest ja koondamisest” (Al gebr w´almukabalah) autor. Esimest korda tutvustati selles matemaatika praktilist kasutamist, lisatud oli palju näiteid võrrandite lahendamisest.

Sõna gebr tähendab sedasama mis “taastamine”, tänapäevases tõlgenduses oleks see: võrrandi negatiivsete liikmete viimine teisele poole võrdusmärki. Sõnaosa mukabalah võiksime tänapäeval tõlgendada kui võrrandi mõlemal poolel olevate sarnaste liikmete ühele poole võrdusmärki viimist ja koondamist. Näiteks võrrandis 10x=8x+8 on paremal pool “liigne” 8x; pärast koondamist saame võrrandi 2x=8.

Euroopas ilmus Al-Khwarizmi teos ladina keelde tõlgituna pealkirjaga Algebra et Almucabala ja siit sai algebra endale nime.

Õpikusse valis Al-Khwarizmi ülesanded selliselt, et lahendites ei oleks negatiivseid juuri. Vähestes näidetes, kus negatiivseid juuri ei olnud võimalik vältida, läks Al-Khwarizmi neist vaikides mööda.

Kuigi araabia matemaatikud panid aluse algebra kasutamisele matemaatilistes arutustes tänapäevases mõistes, jäid nad negatiivsete arvude vallas india matemaatikutest maha.

Matemaatika feodaalses euroopas

XI sajandiks oli Lääne-Euroopas formeerunud feodaalne tootmissüsteem. XI sajandil saabus feodalismi õitseaeg ja see periood kestis XV sajandini. Süvenes ühiskondlik tööjaotus, käsitöö eraldus põllumajandusest, arenesid linnad, nende tähtsus suurenes, tekkis siseturg.

XI sajandil toimus tootlike jõudude kasvu, ühiskonna arengu, tööjaotuse ja -vahetuse süvenedes põhimõtteline muutus ka väliskaubanduses: turgudel hakkasid üha rohkem peremehetsema Euroopa kaupmehed, kes järk-järgult tõrjusid välja araabia ja Bütsantsi kaubitsejad. euroopa kaupmeeste suurenev huvi väliskaubanduse vastu suunas nende tähelepanu Idamaadele.

XI sajandil algasid ristisõjad, mis kestsid 1270. aastani. Ristisõdalased tutvusid Idamaade tehnika ja kultuurisaavutustega, see avaldas olulist mõju ühiskonnas valitsevate klasside vajadustele ja nõudmistele ning sai tööstuse ja kaubanduse arendamise stiimuliks. Kahjuks hävines või läks kaduma nende sõdade käigus mitmete suurte teadlaste tööd.

Ühes punktis ajaloos olid kõik pimeda ajajärgu üle elanud Archimedese tööd pandud kokku 10. sajandil elanud kirjutajate poolt kolmeköitelisse raamatusse. Üks köidetest, mida nimetatakse Codex C , läks kaduma vahetult peale Konstantinoopoli valuutamist neljanda ristisõja käigus 1204 aastal.

Ristisõjad mõjutasid samuti väliskaubandust idamaadega ja kauba- ning rahakäibe suurenemist. Juba keskaja lõpul olid tekkinud mõned tööstusharud, mis moodustasid edasist majanduslikku arengut, ehitati esimesed kõrgahjud, valutehased, kasvas merelaevastik,  viimane ennekõike tänu kompassi leiutamisele; ilmusid paber, püssirohi, kellad. Kiirelt arenev raharinglus tõrjus välja naturaalkaubanduse.

Ameerika avastamine (1492) ja meretee leidmine Indiasse (1498) avaldasid väga suurt mõju mitmesuguste tööstusharude arengule. Feodalismi õitseajast ei leia me mingisuguseid eredaid jälgi matemaatikaloomingust. Ilmekalt iseloomustab seda ajajärku juhtum Gerbertiga Auvergne´ist (hilisem Rooma paavst Silvester II, 945-1003), kes suurema osa elust veetis Hispaanias. Araabia koolides oli ta õppinud matemaatikat, aga hiljem esitati talle just tema matemaatikateadmiste pärast süüdistus nõidumises.

Siiski jõudis matemaatika Euroopasse veel enne feodalismi õitseaja lõppu. XII sajandi teisel poolel hakkas Itaalias, eriti selle põhjaosas, kiiresti arenema majandus. XIII sajandi esimesel kümnendil kirjutas Leonardo Fibonacci (1180-1250) kuulsa “Abakuse raamatu” (Liber abaci), milles on koos kõik peamine tolle aja matemaatikast. Fibonacci ei tunnistanud võrrandite negatiivseid lahendeid. Kuid 1225. aastal väljaantud teoses Flos avaldas Fibonacci ülesande, mille ta oli saanud matemaatikaturniirilt keiser Friedrich II õukonnas oma võistlejalt, õukonnamatemaatikult ja notarilt Giovannilt Palermost. Selle ülesande üheks lahendiks oli negatiivne juur. leonardo Fibonacci arvas ülesande absurdseks, aga lisas, et sellel oleks mõte, kui ühel kompanjonidest oleks kapitali asemel võlg (ülesanne oli aktsiaseltsi arvepidamisest.

XV sajandi lõpul hakati matemaatikas üha sagedamini tarvitama kaupmeeste praktikas levinud märke + ja -; neid näeme üheaegselt paljudes selle aja käsikirjades. Näiteks ilmus miinus- ja plussmärk saksa algebrasse umbes 1486. aastal. trükitult olid märgid + ja – esimest korda kasutusel 1489. aastal sakslase Johannes Widmanni koostatud aritmeetikaõpikus. Õpikust selgub, et need märgid olid tekkinud kaupmeeste praktikas ja pidid tähendama kaalu üle või puudujääki.

Itaallane Luca paccoli annab 1494. aastal ilmunud teoses “Teadmiste summa aritmeetikast, geomeetriast, suhetest ja võrdelisusest” reeglid aritmeetikatehete sooritamiseks positiivsete ja negatiivsete arvudega, kuid ta ei kasuta veel märke + ja -. Reeglid on puhtsõnalised; korrutamise kohta on näiteks selline reegel:

pluss korrutatud plussiga annab alati plussi;
miinus korrutatud miinusega annab alati miinuse
miinus korrutatud plussiga annab alati miinuse;
pluss korrutatud miinusega annab alati miinuse;

On huvitav, et 1474. aastal s.o. peaaegu samal ajal, ilmus prantslase Nicolas Chuquet´traktaat “Teaduse arvudest, kolmes osas”, kus autor võrdsustab ülesannete negatiivsed lahendid positiivsetega ja lisab:”Isegi kui teised autorid peaksid niisugust lahendust võimatuks.” Eesrindlikud ideed on ka matemaatikas kohanud korduvalt visa vastuseisu. Seda kinnitab veel kord negatiivsete arvude saatus. neile antud nimetused nagu valearvud, absurdsed arvud, fiktiivsed arvud, iseloomustavad küllalt täpselt vana tugevat vastupanu uute ideede levikule.

Matemaatika kapitalistlike suhete tekkimise ajal

XVI sajandil algas feodalismi langus, tekkisid kapitalistlikud suhted. See periood haarab XVI-XVIII sajandit. XVII sajadist alates edenes tootlike jõudude hoogsa arengu taustal tormiliselt ka matemaatika.

Esimese matemaatikuna seadis negatiivsete arvude aritmeetika teataval määral korda augustiinlane Michael Stifel (1486-1567). Tõsi küll, ka Stifel ei tunnistanud võrrandite negatiivseid lahendeid ja nimetas negatiivseid arve endiselt “absurdseteks” (vastupidiselt tõelistele s.o. positiivsetele), kuid tema teeneks tuleb lugeda arvu mõiste laiendamist: ta võttis kasutusele arvud, mis on “väiksemad kui eimidagi” (numeri minores nihile, ut sunt 0-3:0-8 etc.).

“Eimidagi,” kirjutas Stifel, “seisab tõeliste ja absurdsete arvude vahel”. Stifel arvas, et absurdsete arvudega juhtub kõik vastupidi, absurdselt: liitmise tulemus on vähenemine, aga lahutamisel- suurenemine.

Stifeli kaasaegne, itaallane Gerolamo Cardano (1501-1576), teose “Suur kunst ehk algebra reeglitest” (Ars magna, sive de regulis algebraicis) autor, nimetas negatiivseid arve fiktiivseteks, tõelise vastandeiks. Ta oli esimene matemaatika ajaloos, kes ei heitnud teise ja kolmanda astme võrrandite negatiivseid lahendeid kõrvale.

Tollal ei olnud see seisukoht matemaatikas veel üheselt heaks kiidetud. XVI sajandi teise poole suur prantsuse matemaatika Francois Viete (1540-1603) jättis võrrandi negatiivsed lahendid arvestamata, inglane Thomas Harriot (1560-1621) arvas koguni, et võrranditel ei saa olla negatiivseid lahendeid.

Otsustavalt murdsid negatiivsed arvud matemaatikas läbi alles XVII sajandil. Sakslane Peter Rothe, 1608. aastal väljaantud raamatu “Filosoofiline aritmeetika” autor ja flaamlane Albert Girard (1590-1633) möönavad ka võrrandite negatiivseid lahendeid. Girard tarvitas esimesena selliseid matemaatilisi tähistusi nagu 7- -2, mis tänapeäval kirjaviisis oleks 7-(-2). ta vaatles positiivseid ja negatiivseid lahendeid kui lõike, mis kulgevad vastassuundades.

Girardi mõtted võttis omaks analüütilise geomeetria rajaja Rene Descartes (1596-1650). Tema nimetas negatiivseid arve väärateks, tähtedel on tema arvutustes nagu Viete´ilgi ainult positiivsed väärtused. Descartes tähistas negatiivseid arve miinusmärgiga tähe ees; kui tähel oli nii positiivne kui negatiivne väärtus, tegi Descartes tähe ette miinusmärgi asemel punkti. Alles hollandlane Johann hedde (1628-1704) vabastas tähtarvutuse nendest kitsendustest.

Oma “Geomeetria” III osa pühendas Descartes tervenisti võrrandite lahendamisele. Ta tunnistas negatiivseid lahendeid, kuid luges need väärlahenditeks. Alles XVIII sajandil lahendati see küsimus lõplikult.

1707. aastal ilmus Isaac Newtoni teos “Üldine aritmeetika” ehk raamat matemaatilisest analüüsist ja sünteesist. selles määratleb Newton täiesti kindlalt: “Suurused võivad olla positiivsed, teisiti öeldes suuremad kui eimidagi, või negatiivsed, s.o väiksemad kui eimidagi.” Huvitav on tähele panna, et veel Newtongi nimetas nulli “eimiskiks”. Negatiivsete arvude tänapäevane tõlgendus sündis alles XX sajandil.

Küsimusi aruteluks

1. Tänapäeval on tunda kahe erineva leeri eraldumist. Ühed, kes arvavad, et matemaatikat ei ole vaja siduda väga palju tegeliku eluga nagu kunsti ja muusikat. matemaatika ise on omaette kunst. Teine pool, kelle arvates on matemaatikat vaja teha ja suunata eluliste probleemide lahendamiseks. Millised mõtted ja arvamused on lugejal selle küsimuse osas?

2. Ateenas välja antud Justinianuse koodeksi peatükis “Kurjasepitsejad, matemaatikud ja muud nendetaolised isikud” oli lause: “Enne kõike keelatakse laitust vääriv matemaatikakunst.” Miks võis Justinianus taolise koodeksi välja anda? Mis oli tal nii väga matemaatika vastu?

3. Vanaaja õpetlaste loomingu säilitasid araablased, kes olid teadmistele erakordselt vastuvõtlikud ning omandasid alistatud rahvaste vaimuvara õige kiiresti. Mis võis olla põhjuseks, et araablased kreeka ja india teadusest nii huvitatud olid?

4. Milline osa oli Rene Descartesil negatiivsete arvude kujunemise ajaloos? Kas ta tunnistas võõrrandi lahenditena negatiivseid lahendeid või mitte?

5. Kelle teose ilmumisega võib lugeda, et negatiivseid arve aktsepteeriti lõpuks ühe osana arvusüsteemist.

Kasutatud materjalid:

Kowal, S. (1979). Meelelahutusest teadmiseni. Tallinn: Valgus

Meta: kreeka matemaatika, Diophantos, india matemaatika, Brahmagupta, araabia matemaatika, al-Khwarizmi, Algebra ajalugu, ristisõjad, Fibonacci, Abakuse raamat, liber abaci, Luca Paccoli, Cardano, Ars magna, Stifel, Viete, Descartes, Rothe, Newton, negatiivsete arvude ajalugu, kuidas tekkisid negatiivsed arvud

 

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s