Murdvõrrandid


Definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab ka muutujat murru nimetajas.

Näide ühest murdvõrrandist

\frac{2x^2}{x+1} + 1=\frac{2}{x+1}

Murdvõrrandi lahendamine

Vaatleme juba esitatud näidet. Viime kõik liikmed ühele poole, muutes üle viidud liikmete märgid.

\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} =0

Määrame võrrandi määramispiirkonna. Määramispiirkond on vajalik, et kindlaks teha kõik x väärtused. mille korral üldse võrrandil leidub lahendeid ja hilisemaks võõrlahendite kontrolliks. Antud võrrandi puhul on määramispiirkonnaks \mathbb{R} \ {-1} ( kogu reaalarvude hulk, millest on eemaldatud arv -1). Sel juhul tekib nulliga jagamine ja võrrand ei ole määratud. Muude arvude korral seda probleemi ei teki.

Leiame ühise nimetaja ja viime (vajadusel tegurdame nimetaja ja avame lugejas sulud.)

\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} = 0

Ühiseks nimetajaks on antud võrrandil on x+1. Laiendame ja viime kõik liikmed ühisele murrujoonele.

\frac{2x^2 + (x+1) -2}{x+1}=0

Tähtis koht murdvõrrandi lahendamisel! Murd saab olla siis ja ainult siis null, kui murru lugeja on null. Järelikult võime järgnevalt vaadelda ainult juhtu, millal lugeja on null.

2x^2 + x+1 -2 = 0

2x^2 +x -1= 0

x_1;_2 = \frac {-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

x_1;_2 = \frac {-1\pm\sqrt{1^2 -4\cdot 2 \cdot -1}}{2\cdot 2}

x= \frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}

x= \frac{-1\pm 3}{4}

x_1 = 0,5

x_2 = -1, võõrlahend, sest ei kuulu määramispiirkonda

Antud võrrandi lahendiks on x= 0,5

Murdvõrranditega puutume kokku erinevates koostöö ülesannetes.

Näide

Veekeskuse bassein täitub peapumba abil 6 tunni võrra kiiremini kui tagavara pumba abil. Mõlemad pumbad täidavad koos töötades basseini 4 tunniga. Mitme tunniga täitub bassein peapumba abil?

Kanname andmed tabelisse.

Olukord Aega kulub
basseini
täitmiseks(h)
Ühes tunnis
täidab (osa)
Ühe tunniga
täitis
peapump x 1 \frac{1}{x}
tagavarapump x+6 1 \frac{1}{x+6}

Ajaline summa: \frac{1}{4}

Koostame antud andmetest võrrandi \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} =\frac{1}{4}

Määramispiirkonnaks on etteantud võrrandil \mathbb{R}\ {-6;0}

Viime kõik liikmed ühele poole, nii, et paremale poole jääks null

\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} -\frac{1}{4}=0

\frac{4x+24+4x-x^2-6x}{4x(x+6)}=0\Rightarrow\frac{-x^2+2x+24}{4x(x+6)}=0

Lahendame lugejas oleva võrrandi.

-x^2-2x-24=0/:(-1)

x^2-2x-24=0

Lahendades Viete teoreemi abil, saame

\begin{cases}x_1 + x_2 =-p\\x_1\cdot x_2 =q\\ \end{cases}

\begin{cases}x_1 + x_2 =2\\x_1\cdot x_2=-24\\ \end{cases}

millest saame, et

  6 + -4 = 2

 6 \cdot -4 =-24

Lahenditeks on x_1 = 6 ja x_2 = -4. -4 ei sobi ülesande tekstiga (aeg ei saa olla negatiivne)

Vastus: Peapumbal kulub aega 6 tundi.

Meta: murdvõrrand, võõrlahend, murdvõrrandi lahendamine, määramispiirkond, koostöö ülesanne, koostööülesande lahendamine,

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s