Koostöö ülesanne


Kaks traktorit koos kündsid 15 tunniga ühe kuuendiku põllust. Kui esimene traktor töötaks üksi veel 12 tundi ja teine üksi  20 tundi, saaks küntud veel 20% põllust. Mitme tunniga künnaks kumbki traktor üksi kogu põllu?

Olgu 1. Traktori tööks kuluv aeg x tundi ja 2. Traktori tööks kuluv aeg y tundi.

Esimesel juhul töötatakse 15 tundi ja selle aja jooksul küntakse põldu  \frac{15}{x} + \frac{15}{y}=\frac{1}{6}

Teisel juhul töötab 1. traktor 12 tundi ja 2. Traktor 20 tundi. Kokku künnavad nad 20% ehk \frac{1}{5} põllust.

\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5}

Süsteem:

\begin{cases}\frac{15}{x}+\frac{15}{y}=\frac {1}{6}\\\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac {1}{5}\end{cases}

avaldan sellest x-i

\Leftrightarrow \frac{90y+90x-xy}{6xy} = 0 \Leftrightarrow 90y + 90x-xy=0\Leftrightarrow xy=90y+90x /:x \Leftrightarrow y=\frac{90y}{x}+90 \Leftrightarrow y-90=\frac{90y}{x} \Leftrightarrow x(y-90)=90y \Leftrightarrow x=\frac{90y}{(y-90)}

Asendan x-i teises võrrandis.

\frac{12}{\frac{90y}{(y-90)}}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{12y-1080}{90y}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{60y^2-5400y+9000y-90y^2}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{-30y^2+3600y}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{y+120}{15}=0 \Leftrightarrow y=120 ; x=\frac{90 \cdot 120}{120-90}=\frac{10800}{30}=360

Süsteemi lahendid:

x=360 ja  y=120

Kontroll:

Kui 1. Traktoril kuluks üksinda aega 360 tundi ja 2. Traktoril kuluks aega 120 tundi, siis koos töötades said nad küntud: \frac{15}{360} + \frac{15}{120}=\frac{1}{6} , mis vastab ülesande tingimustele.

Teisel juhul kündsid nad: {12}{360} + {20}{120}=\frac{1}{5} , mis vastab ülesande tingimustele.

Vastus: Esimesel traktoril kulus aega üksinda kündmiseks 120 tundi ja teisel traktoril 360 tundi.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META: võrrand, süsteem, võrrandisüsteem, kaks lahendit, koostöö ülesanne, võrrandisüsteemi koostamine

Lisa kommentaar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s