Koostöö ülesanne

Kaks traktorit koos kündsid 15 tunniga ühe kuuendiku põllust. Kui esimene traktor töötaks üksi veel 12 tundi ja teine üksi  20 tundi, saaks küntud veel 20% põllust. Mitme tunniga künnaks kumbki traktor üksi kogu põllu?

Olgu 1. Traktori tööks kuluv aeg x tundi ja 2. Traktori tööks kuluv aeg y tundi.

Esimesel juhul töötatakse 15 tundi ja selle aja jooksul küntakse põldu  \frac{15}{x} + \frac{15}{y}=\frac{1}{6}

Teisel juhul töötab 1. traktor 12 tundi ja 2. Traktor 20 tundi. Kokku künnavad nad 20% ehk \frac{1}{5} põllust.

\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5}

Süsteem:

\begin{cases}\frac{15}{x}+\frac{15}{y}=\frac {1}{6}\\\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac {1}{5}\end{cases}

avaldan sellest x-i

\Leftrightarrow \frac{90y+90x-xy}{6xy} = 0 \Leftrightarrow 90y + 90x-xy=0\Leftrightarrow xy=90y+90x /:x \Leftrightarrow y=\frac{90y}{x}+90 \Leftrightarrow y-90=\frac{90y}{x} \Leftrightarrow x(y-90)=90y \Leftrightarrow x=\frac{90y}{(y-90)}

Asendan x-i teises võrrandis.

\frac{12}{\frac{90y}{(y-90)}}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{12y-1080}{90y}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{60y^2-5400y+9000y-90y^2}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{-30y^2+3600y}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{y+120}{15}=0 \Leftrightarrow y=120 ; x=\frac{90 \cdot 120}{120-90}=\frac{10800}{30}=360

Süsteemi lahendid:

x=360 ja  y=120

Kontroll:

Kui 1. Traktoril kuluks üksinda aega 360 tundi ja 2. Traktoril kuluks aega 120 tundi, siis koos töötades said nad küntud: \frac{15}{360} + \frac{15}{120}=\frac{1}{6} , mis vastab ülesande tingimustele.

Teisel juhul kündsid nad: {12}{360} + {20}{120}=\frac{1}{5} , mis vastab ülesande tingimustele.

Vastus: Esimesel traktoril kulus aega üksinda kündmiseks 120 tundi ja teisel traktoril 360 tundi.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META: võrrand, süsteem, võrrandisüsteem, kaks lahendit, koostöö ülesanne, võrrandisüsteemi koostamine

Murdvõrrandid

Definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab ka muutujat murru nimetajas.

Näide ühest murdvõrrandist

\frac{2x^2}{x+1} + 1=\frac{2}{x+1}

Murdvõrrandi lahendamine

Vaatleme juba esitatud näidet. Viime kõik liikmed ühele poole, muutes üle viidud liikmete märgid.

\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} =0

Määrame võrrandi määramispiirkonna. Määramispiirkond on vajalik, et kindlaks teha kõik x väärtused. mille korral üldse võrrandil leidub lahendeid ja hilisemaks võõrlahendite kontrolliks. Antud võrrandi puhul on määramispiirkonnaks \mathbb{R} \ {-1} ( kogu reaalarvude hulk, millest on eemaldatud arv -1). Sel juhul tekib nulliga jagamine ja võrrand ei ole määratud. Muude arvude korral seda probleemi ei teki.

Leiame ühise nimetaja ja viime (vajadusel tegurdame nimetaja ja avame lugejas sulud.)

\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} = 0

Ühiseks nimetajaks on antud võrrandil on x+1. Laiendame ja viime kõik liikmed ühisele murrujoonele.

\frac{2x^2 + (x+1) -2}{x+1}=0

Tähtis koht murdvõrrandi lahendamisel! Murd saab olla siis ja ainult siis null, kui murru lugeja on null. Järelikult võime järgnevalt vaadelda ainult juhtu, millal lugeja on null.

2x^2 + x+1 -2 = 0

2x^2 +x -1= 0

x_1;_2 = \frac {-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

x_1;_2 = \frac {-1\pm\sqrt{1^2 -4\cdot 2 \cdot -1}}{2\cdot 2}

x= \frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}

x= \frac{-1\pm 3}{4}

x_1 = 0,5

x_2 = -1, võõrlahend, sest ei kuulu määramispiirkonda

Antud võrrandi lahendiks on x= 0,5

Murdvõrranditega puutume kokku erinevates koostöö ülesannetes.

Näide

Veekeskuse bassein täitub peapumba abil 6 tunni võrra kiiremini kui tagavara pumba abil. Mõlemad pumbad täidavad koos töötades basseini 4 tunniga. Mitme tunniga täitub bassein peapumba abil?

Kanname andmed tabelisse.

Olukord Aega kulub
basseini
täitmiseks(h)
Ühes tunnis
täidab (osa)
Ühe tunniga
täitis
peapump x 1 \frac{1}{x}
tagavarapump x+6 1 \frac{1}{x+6}

Ajaline summa: \frac{1}{4}

Koostame antud andmetest võrrandi \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} =\frac{1}{4}

Määramispiirkonnaks on etteantud võrrandil \mathbb{R}\ {-6;0}

Viime kõik liikmed ühele poole, nii, et paremale poole jääks null

\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} -\frac{1}{4}=0

\frac{4x+24+4x-x^2-6x}{4x(x+6)}=0\Rightarrow\frac{-x^2+2x+24}{4x(x+6)}=0

Lahendame lugejas oleva võrrandi.

-x^2-2x-24=0/:(-1)

x^2-2x-24=0

Lahendades Viete teoreemi abil, saame

\begin{cases}x_1 + x_2 =-p\\x_1\cdot x_2 =q\\ \end{cases}

\begin{cases}x_1 + x_2 =2\\x_1\cdot x_2=-24\\ \end{cases}

millest saame, et

  6 + -4 = 2

 6 \cdot -4 =-24

Lahenditeks on x_1 = 6 ja x_2 = -4. -4 ei sobi ülesande tekstiga (aeg ei saa olla negatiivne)

Vastus: Peapumbal kulub aega 6 tundi.

Meta: murdvõrrand, võõrlahend, murdvõrrandi lahendamine, määramispiirkond, koostöö ülesanne, koostööülesande lahendamine,

Võrrandite samaväärsus

Kaht sama tundmatut (või samu tundmatuid) sisaldavat võrrandit nimetatakse samaväärseks, kui nendel on kõik lahendid ühised või neil mõlemal lahendid puuduvad.

Näide

Võrrandid 2(x-5)=6 ja x-5=3 on samaväärsed, sest mõlemal on üks lahend x=8

Samuti ka \frac{1}{x-1}=0 ja x^2 +8=0, kuna neil mõlemail lahendid puuduvad.

Samaväärsed ei ole x^2 4=0, 2x =4 , sest ühel võrrandil on lahend, mida teisel ei ole (x=-2)

Võrrandite samaväärsust tähistab märk \Leftrightarrow

Kirja pannes näeks see nii välja

2(x-5)=6\Leftrightarrow x-5=3

Võrrandite samaväärsusteisendused

1. Võrrandite pooli võib vahetada.

f(x)=g(x) \Leftrightarrow g(x)=f(x)

2. Võrrandi pooltele võib liita (lahutada) ühe ja sama arvu või tundmatuid sisaldava avaldise, mis omab mõtet võrrandi kogu määramispiirkonnas (Võrrandi liikmeid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele poole, muutes üleviidava liikme märgi vastupidiseks).

f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)\pm m(x = g(x)\pm m(x)

3. Võrrandi pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

f(x)=g(x)\Leftrightarrow cf(x)=cg(x), c\neq 0  ;

f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x):c=g(x):c, c\neq0

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn:AS Koolibri

META: võrrandite samaväärsus

Võrdus, samasus, võrrand

Võrrandite lahendamisega puutume alateadlikult kokku iga päev. Näiteks poe leti juures arvutades mitu kg banaane või õunu 2 euro eest saab, majapidamises kommunaalteenuste eest makstes ja isegi reede õhtuti mõnelt lõbusalt olemiselt koju tulles. Vaatame selleks ühte ülesannet.

Võrrandite edukaks koostamiseks ja lahendamiseks peame esmalt tutvuma mõningate võrranditega seotud mõistetega.

Loe edasi!

Avaldised

Ratsionaalavaldised

Ratsionaalavaldiseks nimetatakse avaldist, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvuga.

Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega.

Avaldist kujul \displaystyle\frac{a}{b} , kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks.

Ratsionaalavaldiseks lihtsustamine tähendab tema teisendamist võimalikult lihtsaks algebraliseks murruks või täisavaldiseks.

Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega. Need tehted on määratud järgmiste valemitega:

\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

\displaystyle\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}

\displaystyle(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}

\displaystyle\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k} , kus k\neq 0

Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Selleks tegurdatakse kõigi murdude nimetajad. Üheks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgemad astmed. Laiendaja leidmiseks jagatakseühine nimetaja vastava murru nimetajaga.

a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)

\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) , kus x_1;_2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Irratsionaalavaldised

Nii nagu reaalarvud jaotuvad ratsionaal- ja irratsionaalarvudeks, nii jagunevad ka avaldised ratsionaalavaldisteks ja irratsionaal- ehk juuravaldisteks. Vastupidiselt ratsionaalavaldistele sisaldavad irratsionaalavaldised ka juurimistehet.

Irratsionaalsete muutujaid sisaldavate avaldiste teisendamisel jääb kehtima kõik,  mis on seotud ratsionaalavaldiste teisendamisega. Samuti jääb kehtima ka kõik astendamise ja juurimisega seotu. Oluliseks erinevuseks irratsionaalavaldiste puhul on vaid see, et ilma avaldistele tingimusi juurde lisamata eeldatakse tavaliselt, et muutujad avaldistes omavad vaid selliseid väärtusi, mille korral kõik juuritavad on positiivsed.

Irratsionaalavaldiste tegurdamine

Irratsionaalavaldiste, nagu ka ratsionaalavaldiste lihtsustamisel tuleb algebraliste murdude taandamisel ja ühenimeliseks teisendamisel avaldisi tegurdada. Juuravaldiste tegurdamisel saame kasutada sulgude ette toomist, korrutamise abivalemeid ja rühmitamist.

Näited:

1) \sqrt[3]{a^2\cdot b}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{ab}-1)

2) a-\sqrt{a}=(\sqrt{a})^2 -\sqrt{a}=\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)

3) 2+\sqrt[3]{4}=(\sqrt[3]{2})^3 +(\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{2^2}(\sqrt[3]{2}+1)=\sqrt[3]{4}(\sqrt[3]{2}+1)

4)\sqrt{x+1}-x-1=\sqrt{x+1}-(\sqrt{x+1})^2=\sqrt{x+1}(1-\sqrt{x+1})

5)\sqrt{ab}-\sqrt[3]{a^2\cdot b}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^3}-\sqrt[6]{a^4\cdot b^2}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}(\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a})

Murru nimetaja vabastamist irratsionaalsuset

See on teisendus, kus osa irratsionaalseid algebralisi murde laiendatakse nii, et juured kaovad murru nimetajast.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META:  avaldis, irratsionaalavaldis, ratsionaalavaldis, juuravaldis, avaldiste lihtsustamine, täisavaldis, murdavaldis,