Natuke võrrandite lahendamisest

Pealkiri: Kordamine | Võrrandid
Alapealkiri: Erinevate võrrandite lahendamisest
Keel: eesti
Autor: Kaido Kariste
Faili tüüp: pdf
Maht: 4

Järgnevas failis on toodud tööleht mõningate võrranditega ja nende võrrandite lahendamise võtted.

META: lineaarvõrrandi lahendamine, murdvõrrandi lahendamine, juurvõrrandi lahendamine, absoluutväärtust sisaldava võrrandi lahendamine, absoluutväärtust sisaldav võrrand, määramispiirkond, f(x)=g(x)

ISBN koodist

Eile oli selline huvitav kuupäev nagu 11.11.11. Hiljuti on meil olnud väga palju kuupäevi, mis on esitatavad kahendsüsteemis, kuid antud kuupäev on viimane kahendsüsteemi kuupäev kuni järgmise sajandini. Järgmine on 01.01.00 ehk 1. jaanuar 2100. Rääkides arvust 11, siis sellel on üks huvitav kasutusala, millest ma varem ei olnud kuulnud. Kui me ostame tänapäeval raamatu, võime sealt tagant leida triipkoodi ja siis selle kohalt tähtede ja numbrite kombinatsiooni ISBN. See on rahvusvaheline raamatustandardinumber (International Standard Book Number), mille pikkus on 10-13 kohta. meid huvitavad rohkem need10-kohalised arvud. Koodi sisu on lihtne. esimene number näitab riiki, kus raamat avaldatid, siis tuleb kirjastuse kood ja siis raamatu kood. Sarnane tõlgendus isikukoodiga, ehk tegu on raamatu isikukoodiga. Viimast arvu ISBN-is nimetatakse kontrollnumbriks.

Loe edasi!

Negatiivsetest arvudest

Negatiivsete arvude ajalugu on üks huvitavamaid peatükke matemaatilise mõtte järjepidevas arengus, illustreerides matemaatiliste mõistete muutumist. see annab tunnistust ühiskonna tootlike jõudude arengu ja matemaatika progressi vastastikusest seosest, kinnitab veel kord, et teooria väärtuse peamine kriteerium on praktika: inimkond ei tahtnud ju tunnistada negatiivsete arvude olemasolu seni, kuni polnud tekkinud konkreetset, ühiskondlikest nõudeist ja tootmisest tulenevat vajadust nende kasutamiseks.

Kreeka matemaatika

Vanaaja matemaatikud ei tegelenud üldse negatiivsete arvudega. kreeka matemaatikud tunnistasid ainult naturaalarve ja kuigi nad tundsid murde, ei pidanud nad neid arvudeks, vaid madalama järgu ühikuteks, midagi selles laadis nagu kõige väiksemad mõõdu-, kaalu- või rahaühikud. esimene kreeka matemaatik, kes arvas murrud võrdseks teiste arvudega, oli Diophantos Aleksandriast. Diophantos eristas “liidetavaid” ja “lahutatavaid” ning tähistas mahaarvatavad arvud sümboliga \psi. Ta käsitles ka “liidetavate” ja “lahutatavate” korrutamise reeglit. Kuid Diophantos piirdus ainult nende juhtumitega, mil vähendatav oli vähendajast suurem ja mis veel tähtsam: ta seadis vaadeldavatele võrranditele tingimuseks, et võrrandite kordajad oleksid alati positiivsed arvud. kui sattuski tulema negatiivne lahend, luges Diophantos selle vääraks ja jättis lihtsalt kõrvale

India matemaatika

India matemaatikud jõudsid tehetes negatiivsete arvudega veidi kaugemale. Brahmagupta (sünd 598.a.) kasutas arvutustes tänapäeva mõistes negatiivsetele arvudele sarnaseid arve, mida ta tähistas punktiga arvu kohal. india matemaatikutel olid eri nimetused positiivsete ja negatiivsete arvude tarvis, need tähendasid vastavalt “varandust” ja “võlga”. India matemaatikud tundsid ka võrrandite negatiivseid lahendeid, kuid jätsid need kõrvale, sest inimesed ei tunnistanud negatiivseid arve.

Loe edasi!

Archimedese palimpsest

Vana-Kreeka matemaatiku Archimedese ümber on aegade jooksul tekkinud väga palju kohati muinasjutulist kõmu. Tema muutis üldkasutatavaks sõna “eureka”, tema kasutas peegleid roomlaste laevade süütamiseks ja Rooma sõdurid tapsid ta aastal 212 eKr rannas, kui Archimedes joonistas liivale diagramme. Vähe sellest, et need jutud ei vasta päris tõele, takistavad nad Archimedese saavutuste täielikku mõistmist, mis on inspireerinud Leonardo da Vincit, Galileod ja Isaac Newtonit. Mõningad on pidanud teda matemaatilise analüüsi esimeste ideede autoriks.

Loe edasi!

Ruut ja asjad. Ruutvõrrandi ajaloost

Sõna “algebra” tuleb ühe Araabiakeelse raamatu pealkirjast, mis on kirjutatud aastal 825. Autor, Muhammad Ibn-Musa Al-Khwarizmi, sündis ise aladel, mis kannab praegu Usbekistani nime. Suure osa elust veetis ta siiski Baghdadis, kus kaliif oli rajanud omamoodi teadusteakadeemia, mida kutsuti “Tarkuse majaks”. Al-Khwarizmi tegeles paljude aladega. Ta kirjutas geograafia, matemaatika kui ka astronoomia alaseid raamatuid. Kuid tema raamat algebrast on saanud siiani kõige kuulsamaks.

Al-Khwarizmi raamat algab arutlusega ruutvõrrandist. Nimelt vaatleb ta ühte kindlat probleemi.

Miskit tõstetud ruutu ja 10 juurt sellest samast suurusest on võrdne 39 dirhemiga. Kui öelda lihtsamalt, mida peab tõstma ruutu, mis siis 10 võrra kasvades oma enda juure võrra, on kokku 39.

Loe edasi

Hulkadega seotud mänge

Hulgateooriat ja arvuhulki õppides tahaks vahepeal seda teooriat kuskil rakendada. Selleks on võimalus ühes populaarses mängus nimega SET

Mängu reeglid on lihtsad. Pead moodustama hulki, kus kõikide liikmete omadused on samasugused või täiesti erinevad. Näiteks võivad olla kõik liikmed lillat värvi, seest täidetud ja erineva kuju ning erineva arvu kujunditega. Hulgaks ei sobi kolmikud, kus kaks liiget on ühe omadusega, aga kolmas mitte. Näiteks ei moodusta hulka kõik rohelised, kõik kolmesed, kuid kaks täidetud ja üks tühi kujundite kombinatsioon.

Head mängimist.

META: Hulgateooria, hulkadega seotud mängud, The Set Game

Arvusüsteemid. Kahendsüsteem

Loodus on andnud inimesele viis sõrme ühel käel, kümme kahel käel kokku ja kakskümmend kokku koos mõlema jala varvastega. Kasutades seda looduse andi, arvutas inimene viie, kümne või siis kahekümne kaupa. Ainult kord ajaloos on inimene sellest reeglist taganenud: vanas Babüloonias arvutati kuuekümne kaupa.

Õppinud arvutama, pidi inimene õppima arve ka mingite märkidega üles kirjutama. Seal, kus arvutamise aluseks oli kümme, pidi inimene leidma kümme arvumärki, mida hiljem hakati nimetama numbriteks; seal, kus alusarvuks oli võetud arv viis – viis märki, aga seal, kus alusarvuks oli võetud kuuskümmend, tuli leida teine lahendus, kuid sellest me siin praegu rääkima ei hakka.

Pärast pikaajalist võitlust mitme koolkonna vahel võitis kogu tsiviliseeritud maailmas kümnendsüsteem ja võeti kasutusele Indias leiutatud numbrimärgid, mille laenasid araablased ning mis seejärel juba Araabiamaade kaudu XIII sajandi matemaatiku ja kaupmehe Leonardo Fibonacci vahendusel Euroopasse jõudsid. Meile on need märgid hästi teada: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Need märgid ja positsioonisüsteem, mis tähendab seda, et igal numbril on oma kindel tähendus mitte ainult sõltuvalt graafilisest kujust, vaid ka kohast (positsioonist), millel ta asub teiste numbrite suhtes, rahuldas täielikult  tavalisi inimesi ja õpetlasi kuni selle ajani, mil ilmusid arvutid.

Loe edasi

Arnauldi paradoks

Tutvusin just negatiivsete arvude ajalooga. Võib olla pole paljud teist kuulnud, kuid negatiivseid arve hakati aktsepteerima alles 19. sajandil ja iroonilisel moel tänu sellele, et matemaatika muutus üha abstraktsemaks. Mind ennast jäi kõige rohkem häirima loetud Arnauldi paradoks, mille püstitas prantsuse matemaatik Antoine Arnauld (1612-1694). Ta väitis nimelt

Kui -1<1, siis suhe (-1):1 = 1:(-1), mis väidab, et väiksema arvu suhe suuremasse on sama, mis suurema arvu suhe väiksemasse, on absurd.

Oleksin huvitatud erinevatest arvamustest, mis siin valesti on, kui üldse on?

 

Kanepilehe joon

Olen tahtnud seda postitust juba ammu teha, aga ei ole aega leidnud. Nimelt käisin siin paar kuud tagasi Nõo Reaalgümnaasiumis väikest arvutipraktikumi andmas ja tegelesime polaarkoordinaatidega. Seal postituses on ka kirjas, kuidas GeoGebras ise endale polaarkoordinaadistik teha ja siis kuidas panna GeoGebra joonestama polaarkoordinaatides antud jooni. Otsustasime lõpuks teha Geogebrale ultimate-testi e. õpilased leidsid netist ühe vinge polaarkoordinaatides antud joone.

Tegu on siis kanepilehte meenutava joonega, mille võrrand polaarkoordinaatides on:

r(\theta)=a[1+\frac{9}{10}cos(8\theta)][1+\frac{1}{10}cos(24\theta)][\frac{9}{10}+\frac{1}{10}cos(200\theta)](1+sin(\theta))

Selline võrrand hirmutas muidugi paljud alguses ära ja alguses käiski nöökimine, et no tee sellise võrrandiga joon ära. Lõpuks ütlesin neile, et heaküll, teeme siis. Milles küsimus :).

Loe edasi

Siinusteoreem

Iga kolmnurga võime kõrguse abil tükeldada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks ning arvutada viimastest antud kolmnurga puuduvad põhielemendid. Kolmnurga otsene lahendamine (puuduvate põhielementide leidmine antud põhielementide kaudu) on siiski lihtsam. Selleks vajame lisaks seniõpitule veel mõningaid kolmnurga elementide vahelisi seoseid. Sageli kasutatavaks seoseks on nn. siinusteoreem:

TEOREEM  (Siinusteoreem) Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurga siinustega.

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}

TÕESTUS: Olgu antud kolmnurk ABC külgedega a, b, c ja nende vastasnurgad α, β, γ. Peame näitama nüüd, et \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}.

Selleks kirjutame kolmnurga ABC pindala välja kolm korda, iga kord erineva külje kaudu. Tulemused on muidugi võrdsed.

\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{1}{2}bc\sin\alpha

Korrutame saadud võrdusi 2-ga ning seejärel jagame korrutisega abc:

\frac{ab\sin\gamma}{abc}=\frac{ac\sin\beta}{abc}=\frac{bc\sin\alpha}{abc}.

Taandades igas murrus vastavad elemendid järeldub siit

\frac{\sin\gamma}{c}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}, ehk \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\clubsuit

Võrde kolme antud liikme järgi saame arvutada neljanda. Järelikult võimaldab siinusteoreem [1]

1)      arvutada kolmnurga külge, kui on teada kaks nurka ja ühe antud nurga vastaskülg;

2)      arvutada kolmnurga nurka, kui on teada kaks külge ja ühe antud külje vastasnurk

Kasutatud materjalid

Eteverk, E., Teeäär, A., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Tallinn: Valgus, 1974.

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Kd. 2. Tallinn: Koolibri, 2000.

META Siinusteoreem, siinusteoreemi tõestus, kolmnurga lahendamine, kaks külge ja ühe külje vastasnurk, külje seos vastasnurgaga,