Koostöö ülesanne

Kaks traktorit koos kündsid 15 tunniga ühe kuuendiku põllust. Kui esimene traktor töötaks üksi veel 12 tundi ja teine üksi  20 tundi, saaks küntud veel 20% põllust. Mitme tunniga künnaks kumbki traktor üksi kogu põllu?

Olgu 1. Traktori tööks kuluv aeg x tundi ja 2. Traktori tööks kuluv aeg y tundi.

Esimesel juhul töötatakse 15 tundi ja selle aja jooksul küntakse põldu  \frac{15}{x} + \frac{15}{y}=\frac{1}{6}

Teisel juhul töötab 1. traktor 12 tundi ja 2. Traktor 20 tundi. Kokku künnavad nad 20% ehk \frac{1}{5} põllust.

\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5}

Süsteem:

\begin{cases}\frac{15}{x}+\frac{15}{y}=\frac {1}{6}\\\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac {1}{5}\end{cases}

avaldan sellest x-i

\Leftrightarrow \frac{90y+90x-xy}{6xy} = 0 \Leftrightarrow 90y + 90x-xy=0\Leftrightarrow xy=90y+90x /:x \Leftrightarrow y=\frac{90y}{x}+90 \Leftrightarrow y-90=\frac{90y}{x} \Leftrightarrow x(y-90)=90y \Leftrightarrow x=\frac{90y}{(y-90)}

Asendan x-i teises võrrandis.

\frac{12}{\frac{90y}{(y-90)}}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{12y-1080}{90y}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{60y^2-5400y+9000y-90y^2}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{-30y^2+3600y}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{y+120}{15}=0 \Leftrightarrow y=120 ; x=\frac{90 \cdot 120}{120-90}=\frac{10800}{30}=360

Süsteemi lahendid:

x=360 ja  y=120

Kontroll:

Kui 1. Traktoril kuluks üksinda aega 360 tundi ja 2. Traktoril kuluks aega 120 tundi, siis koos töötades said nad küntud: \frac{15}{360} + \frac{15}{120}=\frac{1}{6} , mis vastab ülesande tingimustele.

Teisel juhul kündsid nad: {12}{360} + {20}{120}=\frac{1}{5} , mis vastab ülesande tingimustele.

Vastus: Esimesel traktoril kulus aega üksinda kündmiseks 120 tundi ja teisel traktoril 360 tundi.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META: võrrand, süsteem, võrrandisüsteem, kaks lahendit, koostöö ülesanne, võrrandisüsteemi koostamine

Natuke võrrandite lahendamisest

Pealkiri: Kordamine | Võrrandid
Alapealkiri: Erinevate võrrandite lahendamisest
Keel: eesti
Autor: Kaido Kariste
Faili tüüp: pdf
Maht: 4

Järgnevas failis on toodud tööleht mõningate võrranditega ja nende võrrandite lahendamise võtted.

META: lineaarvõrrandi lahendamine, murdvõrrandi lahendamine, juurvõrrandi lahendamine, absoluutväärtust sisaldava võrrandi lahendamine, absoluutväärtust sisaldav võrrand, määramispiirkond, f(x)=g(x)

Murdvõrrandid

Definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab ka muutujat murru nimetajas.

Näide ühest murdvõrrandist

\frac{2x^2}{x+1} + 1=\frac{2}{x+1}

Murdvõrrandi lahendamine

Vaatleme juba esitatud näidet. Viime kõik liikmed ühele poole, muutes üle viidud liikmete märgid.

\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} =0

Määrame võrrandi määramispiirkonna. Määramispiirkond on vajalik, et kindlaks teha kõik x väärtused. mille korral üldse võrrandil leidub lahendeid ja hilisemaks võõrlahendite kontrolliks. Antud võrrandi puhul on määramispiirkonnaks \mathbb{R} \ {-1} ( kogu reaalarvude hulk, millest on eemaldatud arv -1). Sel juhul tekib nulliga jagamine ja võrrand ei ole määratud. Muude arvude korral seda probleemi ei teki.

Leiame ühise nimetaja ja viime (vajadusel tegurdame nimetaja ja avame lugejas sulud.)

\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} = 0

Ühiseks nimetajaks on antud võrrandil on x+1. Laiendame ja viime kõik liikmed ühisele murrujoonele.

\frac{2x^2 + (x+1) -2}{x+1}=0

Tähtis koht murdvõrrandi lahendamisel! Murd saab olla siis ja ainult siis null, kui murru lugeja on null. Järelikult võime järgnevalt vaadelda ainult juhtu, millal lugeja on null.

2x^2 + x+1 -2 = 0

2x^2 +x -1= 0

x_1;_2 = \frac {-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

x_1;_2 = \frac {-1\pm\sqrt{1^2 -4\cdot 2 \cdot -1}}{2\cdot 2}

x= \frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}

x= \frac{-1\pm 3}{4}

x_1 = 0,5

x_2 = -1, võõrlahend, sest ei kuulu määramispiirkonda

Antud võrrandi lahendiks on x= 0,5

Murdvõrranditega puutume kokku erinevates koostöö ülesannetes.

Näide

Veekeskuse bassein täitub peapumba abil 6 tunni võrra kiiremini kui tagavara pumba abil. Mõlemad pumbad täidavad koos töötades basseini 4 tunniga. Mitme tunniga täitub bassein peapumba abil?

Kanname andmed tabelisse.

Olukord Aega kulub
basseini
täitmiseks(h)
Ühes tunnis
täidab (osa)
Ühe tunniga
täitis
peapump x 1 \frac{1}{x}
tagavarapump x+6 1 \frac{1}{x+6}

Ajaline summa: \frac{1}{4}

Koostame antud andmetest võrrandi \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} =\frac{1}{4}

Määramispiirkonnaks on etteantud võrrandil \mathbb{R}\ {-6;0}

Viime kõik liikmed ühele poole, nii, et paremale poole jääks null

\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} -\frac{1}{4}=0

\frac{4x+24+4x-x^2-6x}{4x(x+6)}=0\Rightarrow\frac{-x^2+2x+24}{4x(x+6)}=0

Lahendame lugejas oleva võrrandi.

-x^2-2x-24=0/:(-1)

x^2-2x-24=0

Lahendades Viete teoreemi abil, saame

\begin{cases}x_1 + x_2 =-p\\x_1\cdot x_2 =q\\ \end{cases}

\begin{cases}x_1 + x_2 =2\\x_1\cdot x_2=-24\\ \end{cases}

millest saame, et

  6 + -4 = 2

 6 \cdot -4 =-24

Lahenditeks on x_1 = 6 ja x_2 = -4. -4 ei sobi ülesande tekstiga (aeg ei saa olla negatiivne)

Vastus: Peapumbal kulub aega 6 tundi.

Meta: murdvõrrand, võõrlahend, murdvõrrandi lahendamine, määramispiirkond, koostöö ülesanne, koostööülesande lahendamine,

Võrrandite samaväärsus

Kaht sama tundmatut (või samu tundmatuid) sisaldavat võrrandit nimetatakse samaväärseks, kui nendel on kõik lahendid ühised või neil mõlemal lahendid puuduvad.

Näide

Võrrandid 2(x-5)=6 ja x-5=3 on samaväärsed, sest mõlemal on üks lahend x=8

Samuti ka \frac{1}{x-1}=0 ja x^2 +8=0, kuna neil mõlemail lahendid puuduvad.

Samaväärsed ei ole x^2 4=0, 2x =4 , sest ühel võrrandil on lahend, mida teisel ei ole (x=-2)

Võrrandite samaväärsust tähistab märk \Leftrightarrow

Kirja pannes näeks see nii välja

2(x-5)=6\Leftrightarrow x-5=3

Võrrandite samaväärsusteisendused

1. Võrrandite pooli võib vahetada.

f(x)=g(x) \Leftrightarrow g(x)=f(x)

2. Võrrandi pooltele võib liita (lahutada) ühe ja sama arvu või tundmatuid sisaldava avaldise, mis omab mõtet võrrandi kogu määramispiirkonnas (Võrrandi liikmeid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele poole, muutes üleviidava liikme märgi vastupidiseks).

f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)\pm m(x = g(x)\pm m(x)

3. Võrrandi pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

f(x)=g(x)\Leftrightarrow cf(x)=cg(x), c\neq 0  ;

f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x):c=g(x):c, c\neq0

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn:AS Koolibri

META: võrrandite samaväärsus

Negatiivsetest arvudest

Negatiivsete arvude ajalugu on üks huvitavamaid peatükke matemaatilise mõtte järjepidevas arengus, illustreerides matemaatiliste mõistete muutumist. see annab tunnistust ühiskonna tootlike jõudude arengu ja matemaatika progressi vastastikusest seosest, kinnitab veel kord, et teooria väärtuse peamine kriteerium on praktika: inimkond ei tahtnud ju tunnistada negatiivsete arvude olemasolu seni, kuni polnud tekkinud konkreetset, ühiskondlikest nõudeist ja tootmisest tulenevat vajadust nende kasutamiseks.

Kreeka matemaatika

Vanaaja matemaatikud ei tegelenud üldse negatiivsete arvudega. kreeka matemaatikud tunnistasid ainult naturaalarve ja kuigi nad tundsid murde, ei pidanud nad neid arvudeks, vaid madalama järgu ühikuteks, midagi selles laadis nagu kõige väiksemad mõõdu-, kaalu- või rahaühikud. esimene kreeka matemaatik, kes arvas murrud võrdseks teiste arvudega, oli Diophantos Aleksandriast. Diophantos eristas “liidetavaid” ja “lahutatavaid” ning tähistas mahaarvatavad arvud sümboliga \psi. Ta käsitles ka “liidetavate” ja “lahutatavate” korrutamise reeglit. Kuid Diophantos piirdus ainult nende juhtumitega, mil vähendatav oli vähendajast suurem ja mis veel tähtsam: ta seadis vaadeldavatele võrranditele tingimuseks, et võrrandite kordajad oleksid alati positiivsed arvud. kui sattuski tulema negatiivne lahend, luges Diophantos selle vääraks ja jättis lihtsalt kõrvale

India matemaatika

India matemaatikud jõudsid tehetes negatiivsete arvudega veidi kaugemale. Brahmagupta (sünd 598.a.) kasutas arvutustes tänapäeva mõistes negatiivsetele arvudele sarnaseid arve, mida ta tähistas punktiga arvu kohal. india matemaatikutel olid eri nimetused positiivsete ja negatiivsete arvude tarvis, need tähendasid vastavalt “varandust” ja “võlga”. India matemaatikud tundsid ka võrrandite negatiivseid lahendeid, kuid jätsid need kõrvale, sest inimesed ei tunnistanud negatiivseid arve.

Loe edasi!

Võrdus, samasus, võrrand

Võrrandite lahendamisega puutume alateadlikult kokku iga päev. Näiteks poe leti juures arvutades mitu kg banaane või õunu 2 euro eest saab, majapidamises kommunaalteenuste eest makstes ja isegi reede õhtuti mõnelt lõbusalt olemiselt koju tulles. Vaatame selleks ühte ülesannet.

Võrrandite edukaks koostamiseks ja lahendamiseks peame esmalt tutvuma mõningate võrranditega seotud mõistetega.

Loe edasi!

Avaldised

Ratsionaalavaldised

Ratsionaalavaldiseks nimetatakse avaldist, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvuga.

Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega.

Avaldist kujul \displaystyle\frac{a}{b} , kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks.

Ratsionaalavaldiseks lihtsustamine tähendab tema teisendamist võimalikult lihtsaks algebraliseks murruks või täisavaldiseks.

Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega. Need tehted on määratud järgmiste valemitega:

\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

\displaystyle\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}

\displaystyle(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}

\displaystyle\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k} , kus k\neq 0

Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Selleks tegurdatakse kõigi murdude nimetajad. Üheks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgemad astmed. Laiendaja leidmiseks jagatakseühine nimetaja vastava murru nimetajaga.

a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)

\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) , kus x_1;_2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Irratsionaalavaldised

Nii nagu reaalarvud jaotuvad ratsionaal- ja irratsionaalarvudeks, nii jagunevad ka avaldised ratsionaalavaldisteks ja irratsionaal- ehk juuravaldisteks. Vastupidiselt ratsionaalavaldistele sisaldavad irratsionaalavaldised ka juurimistehet.

Irratsionaalsete muutujaid sisaldavate avaldiste teisendamisel jääb kehtima kõik,  mis on seotud ratsionaalavaldiste teisendamisega. Samuti jääb kehtima ka kõik astendamise ja juurimisega seotu. Oluliseks erinevuseks irratsionaalavaldiste puhul on vaid see, et ilma avaldistele tingimusi juurde lisamata eeldatakse tavaliselt, et muutujad avaldistes omavad vaid selliseid väärtusi, mille korral kõik juuritavad on positiivsed.

Irratsionaalavaldiste tegurdamine

Irratsionaalavaldiste, nagu ka ratsionaalavaldiste lihtsustamisel tuleb algebraliste murdude taandamisel ja ühenimeliseks teisendamisel avaldisi tegurdada. Juuravaldiste tegurdamisel saame kasutada sulgude ette toomist, korrutamise abivalemeid ja rühmitamist.

Näited:

1) \sqrt[3]{a^2\cdot b}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{ab}-1)

2) a-\sqrt{a}=(\sqrt{a})^2 -\sqrt{a}=\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)

3) 2+\sqrt[3]{4}=(\sqrt[3]{2})^3 +(\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{2^2}(\sqrt[3]{2}+1)=\sqrt[3]{4}(\sqrt[3]{2}+1)

4)\sqrt{x+1}-x-1=\sqrt{x+1}-(\sqrt{x+1})^2=\sqrt{x+1}(1-\sqrt{x+1})

5)\sqrt{ab}-\sqrt[3]{a^2\cdot b}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^3}-\sqrt[6]{a^4\cdot b^2}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}(\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a})

Murru nimetaja vabastamist irratsionaalsuset

See on teisendus, kus osa irratsionaalseid algebralisi murde laiendatakse nii, et juured kaovad murru nimetajast.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META:  avaldis, irratsionaalavaldis, ratsionaalavaldis, juuravaldis, avaldiste lihtsustamine, täisavaldis, murdavaldis,

Ruut ja asjad. Ruutvõrrandi ajaloost

Sõna “algebra” tuleb ühe Araabiakeelse raamatu pealkirjast, mis on kirjutatud aastal 825. Autor, Muhammad Ibn-Musa Al-Khwarizmi, sündis ise aladel, mis kannab praegu Usbekistani nime. Suure osa elust veetis ta siiski Baghdadis, kus kaliif oli rajanud omamoodi teadusteakadeemia, mida kutsuti “Tarkuse majaks”. Al-Khwarizmi tegeles paljude aladega. Ta kirjutas geograafia, matemaatika kui ka astronoomia alaseid raamatuid. Kuid tema raamat algebrast on saanud siiani kõige kuulsamaks.

Al-Khwarizmi raamat algab arutlusega ruutvõrrandist. Nimelt vaatleb ta ühte kindlat probleemi.

Miskit tõstetud ruutu ja 10 juurt sellest samast suurusest on võrdne 39 dirhemiga. Kui öelda lihtsamalt, mida peab tõstma ruutu, mis siis 10 võrra kasvades oma enda juure võrra, on kokku 39.

Loe edasi

Arvusüsteemid. Kahendsüsteem

Loodus on andnud inimesele viis sõrme ühel käel, kümme kahel käel kokku ja kakskümmend kokku koos mõlema jala varvastega. Kasutades seda looduse andi, arvutas inimene viie, kümne või siis kahekümne kaupa. Ainult kord ajaloos on inimene sellest reeglist taganenud: vanas Babüloonias arvutati kuuekümne kaupa.

Õppinud arvutama, pidi inimene õppima arve ka mingite märkidega üles kirjutama. Seal, kus arvutamise aluseks oli kümme, pidi inimene leidma kümme arvumärki, mida hiljem hakati nimetama numbriteks; seal, kus alusarvuks oli võetud arv viis – viis märki, aga seal, kus alusarvuks oli võetud kuuskümmend, tuli leida teine lahendus, kuid sellest me siin praegu rääkima ei hakka.

Pärast pikaajalist võitlust mitme koolkonna vahel võitis kogu tsiviliseeritud maailmas kümnendsüsteem ja võeti kasutusele Indias leiutatud numbrimärgid, mille laenasid araablased ning mis seejärel juba Araabiamaade kaudu XIII sajandi matemaatiku ja kaupmehe Leonardo Fibonacci vahendusel Euroopasse jõudsid. Meile on need märgid hästi teada: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Need märgid ja positsioonisüsteem, mis tähendab seda, et igal numbril on oma kindel tähendus mitte ainult sõltuvalt graafilisest kujust, vaid ka kohast (positsioonist), millel ta asub teiste numbrite suhtes, rahuldas täielikult  tavalisi inimesi ja õpetlasi kuni selle ajani, mil ilmusid arvutid.

Loe edasi

Arnauldi paradoks

Tutvusin just negatiivsete arvude ajalooga. Võib olla pole paljud teist kuulnud, kuid negatiivseid arve hakati aktsepteerima alles 19. sajandil ja iroonilisel moel tänu sellele, et matemaatika muutus üha abstraktsemaks. Mind ennast jäi kõige rohkem häirima loetud Arnauldi paradoks, mille püstitas prantsuse matemaatik Antoine Arnauld (1612-1694). Ta väitis nimelt

Kui -1<1, siis suhe (-1):1 = 1:(-1), mis väidab, et väiksema arvu suhe suuremasse on sama, mis suurema arvu suhe väiksemasse, on absurd.

Oleksin huvitatud erinevatest arvamustest, mis siin valesti on, kui üldse on?