Negatiivsetest arvudest

Negatiivsete arvude ajalugu on üks huvitavamaid peatükke matemaatilise mõtte järjepidevas arengus, illustreerides matemaatiliste mõistete muutumist. see annab tunnistust ühiskonna tootlike jõudude arengu ja matemaatika progressi vastastikusest seosest, kinnitab veel kord, et teooria väärtuse peamine kriteerium on praktika: inimkond ei tahtnud ju tunnistada negatiivsete arvude olemasolu seni, kuni polnud tekkinud konkreetset, ühiskondlikest nõudeist ja tootmisest tulenevat vajadust nende kasutamiseks.

Kreeka matemaatika

Vanaaja matemaatikud ei tegelenud üldse negatiivsete arvudega. kreeka matemaatikud tunnistasid ainult naturaalarve ja kuigi nad tundsid murde, ei pidanud nad neid arvudeks, vaid madalama järgu ühikuteks, midagi selles laadis nagu kõige väiksemad mõõdu-, kaalu- või rahaühikud. esimene kreeka matemaatik, kes arvas murrud võrdseks teiste arvudega, oli Diophantos Aleksandriast. Diophantos eristas “liidetavaid” ja “lahutatavaid” ning tähistas mahaarvatavad arvud sümboliga \psi. Ta käsitles ka “liidetavate” ja “lahutatavate” korrutamise reeglit. Kuid Diophantos piirdus ainult nende juhtumitega, mil vähendatav oli vähendajast suurem ja mis veel tähtsam: ta seadis vaadeldavatele võrranditele tingimuseks, et võrrandite kordajad oleksid alati positiivsed arvud. kui sattuski tulema negatiivne lahend, luges Diophantos selle vääraks ja jättis lihtsalt kõrvale

India matemaatika

India matemaatikud jõudsid tehetes negatiivsete arvudega veidi kaugemale. Brahmagupta (sünd 598.a.) kasutas arvutustes tänapäeva mõistes negatiivsetele arvudele sarnaseid arve, mida ta tähistas punktiga arvu kohal. india matemaatikutel olid eri nimetused positiivsete ja negatiivsete arvude tarvis, need tähendasid vastavalt “varandust” ja “võlga”. India matemaatikud tundsid ka võrrandite negatiivseid lahendeid, kuid jätsid need kõrvale, sest inimesed ei tunnistanud negatiivseid arve.

Loe edasi!

Avaldised

Ratsionaalavaldised

Ratsionaalavaldiseks nimetatakse avaldist, milles võivad esineda muutujate ja/või arvude liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ning astendamine täisarvuga.

Kui avaldis ei sisalda muutujaid jagajas, siis nimetatakse seda täisavaldiseks, vastasel juhul on tegemist murdavaldisega.

Avaldist kujul \displaystyle\frac{a}{b} , kus a ja b on täisavaldised, nimetatakse algebraliseks murruks.

Ratsionaalavaldiseks lihtsustamine tähendab tema teisendamist võimalikult lihtsaks algebraliseks murruks või täisavaldiseks.

Ratsionaalavaldiste teisendamine taandub tehetele algebraliste murdudega. Need tehted on määratud järgmiste valemitega:

\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}

\displaystyle\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}

\displaystyle(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}

\displaystyle\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c}

\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k} , kus k\neq 0

Erinimeliste algebraliste murdude liitmisel (lahutamisel) laiendatakse need esmalt ühenimelisteks. Selleks tegurdatakse kõigi murdude nimetajad. Üheks nimetajaks valitakse korrutis, mille tegureiks on üksikute murdude nimetajate kõigi erinevate tegurite kõrgemad astmed. Laiendaja leidmiseks jagatakseühine nimetaja vastava murru nimetajaga.

a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)

\displaystyle ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) , kus x_1;_2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Irratsionaalavaldised

Nii nagu reaalarvud jaotuvad ratsionaal- ja irratsionaalarvudeks, nii jagunevad ka avaldised ratsionaalavaldisteks ja irratsionaal- ehk juuravaldisteks. Vastupidiselt ratsionaalavaldistele sisaldavad irratsionaalavaldised ka juurimistehet.

Irratsionaalsete muutujaid sisaldavate avaldiste teisendamisel jääb kehtima kõik,  mis on seotud ratsionaalavaldiste teisendamisega. Samuti jääb kehtima ka kõik astendamise ja juurimisega seotu. Oluliseks erinevuseks irratsionaalavaldiste puhul on vaid see, et ilma avaldistele tingimusi juurde lisamata eeldatakse tavaliselt, et muutujad avaldistes omavad vaid selliseid väärtusi, mille korral kõik juuritavad on positiivsed.

Irratsionaalavaldiste tegurdamine

Irratsionaalavaldiste, nagu ka ratsionaalavaldiste lihtsustamisel tuleb algebraliste murdude taandamisel ja ühenimeliseks teisendamisel avaldisi tegurdada. Juuravaldiste tegurdamisel saame kasutada sulgude ette toomist, korrutamise abivalemeid ja rühmitamist.

Näited:

1) \sqrt[3]{a^2\cdot b}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{ab}-1)

2) a-\sqrt{a}=(\sqrt{a})^2 -\sqrt{a}=\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)

3) 2+\sqrt[3]{4}=(\sqrt[3]{2})^3 +(\sqrt[3]{2})^2=\sqrt[3]{2^2}(\sqrt[3]{2}+1)=\sqrt[3]{4}(\sqrt[3]{2}+1)

4)\sqrt{x+1}-x-1=\sqrt{x+1}-(\sqrt{x+1})^2=\sqrt{x+1}(1-\sqrt{x+1})

5)\sqrt{ab}-\sqrt[3]{a^2\cdot b}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^3}-\sqrt[6]{a^4\cdot b^2}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}\cdot\sqrt[6]{a}=\sqrt[6]{a^3\cdot b^2}(\sqrt[6]{b}-\sqrt[6]{a})

Murru nimetaja vabastamist irratsionaalsuset

See on teisendus, kus osa irratsionaalseid algebralisi murde laiendatakse nii, et juured kaovad murru nimetajast.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META:  avaldis, irratsionaalavaldis, ratsionaalavaldis, juuravaldis, avaldiste lihtsustamine, täisavaldis, murdavaldis,

Arvusüsteemid. Kahendsüsteem

Loodus on andnud inimesele viis sõrme ühel käel, kümme kahel käel kokku ja kakskümmend kokku koos mõlema jala varvastega. Kasutades seda looduse andi, arvutas inimene viie, kümne või siis kahekümne kaupa. Ainult kord ajaloos on inimene sellest reeglist taganenud: vanas Babüloonias arvutati kuuekümne kaupa.

Õppinud arvutama, pidi inimene õppima arve ka mingite märkidega üles kirjutama. Seal, kus arvutamise aluseks oli kümme, pidi inimene leidma kümme arvumärki, mida hiljem hakati nimetama numbriteks; seal, kus alusarvuks oli võetud arv viis – viis märki, aga seal, kus alusarvuks oli võetud kuuskümmend, tuli leida teine lahendus, kuid sellest me siin praegu rääkima ei hakka.

Pärast pikaajalist võitlust mitme koolkonna vahel võitis kogu tsiviliseeritud maailmas kümnendsüsteem ja võeti kasutusele Indias leiutatud numbrimärgid, mille laenasid araablased ning mis seejärel juba Araabiamaade kaudu XIII sajandi matemaatiku ja kaupmehe Leonardo Fibonacci vahendusel Euroopasse jõudsid. Meile on need märgid hästi teada: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Need märgid ja positsioonisüsteem, mis tähendab seda, et igal numbril on oma kindel tähendus mitte ainult sõltuvalt graafilisest kujust, vaid ka kohast (positsioonist), millel ta asub teiste numbrite suhtes, rahuldas täielikult  tavalisi inimesi ja õpetlasi kuni selle ajani, mil ilmusid arvutid.

Loe edasi

Arnauldi paradoks

Tutvusin just negatiivsete arvude ajalooga. Võib olla pole paljud teist kuulnud, kuid negatiivseid arve hakati aktsepteerima alles 19. sajandil ja iroonilisel moel tänu sellele, et matemaatika muutus üha abstraktsemaks. Mind ennast jäi kõige rohkem häirima loetud Arnauldi paradoks, mille püstitas prantsuse matemaatik Antoine Arnauld (1612-1694). Ta väitis nimelt

Kui -1<1, siis suhe (-1):1 = 1:(-1), mis väidab, et väiksema arvu suhe suuremasse on sama, mis suurema arvu suhe väiksemasse, on absurd.

Oleksin huvitatud erinevatest arvamustest, mis siin valesti on, kui üldse on?

 

Ratsionaalarvud ja kümnendmurrud

Iga ratsionaalarvu \frac{m}{n} saab esitada kümnendmurruna. Selleks jagame murru lugeja nimetajaga. Näiteks on \frac{3}{5} = 0,6\ldots ja \frac{1}{6} = 0,166\ldots. Esimeses näites saame tulemuseks lõpliku kümnendmurru , teises näites lõpmatu kümnendmurru.

Miks see nii on? jagamisel tekkivad jäägid on alati väiksemad jagajast. Näiteks kui jagame kolme viiega, saavad jäägiks tekkida 0, 1,2, 3, 4.

3 : 5= 0 jääk 3, 30 : 5 = 6 jääk 0.

Kui jagame arvu m arvuga n , siis jäägiks võime saada järelikult 0, 1, 2, \ldots n-1 . Kui jääk on 0, siis on jagamine lõppenud. Nii juhtus esimeses näites. Tulemuseks saame lõpliku kümnendmurru. vaatame nüüd teist näidet

1 :6 = 0 jääk 6, 10 : 6= 1 jääk 4, 40 : 6 = 6 jääk 4 ja nii hakkab see korduma.

Kui kõik jäägid on nullist erinevad, siis jagamine ei lõppe. Kuna erinevate jääkide hulk on lõplik, siis mingi jääk peab korduma. Sellisel juhul hakkavad korduma ka numbrid jagatises. Tulemusena saame perioodilise kümnendmurru . Juhul kui periood (korduma hakkav numbrite rühm) algab kohe pärast koma, siis selliseid kümnendmurde nimetatakse puhtperioodilisteks kümnendmurdudeks.  Puhtperioodiliste kümnendmurdude kirjutamisel märgitakse periood tavaliselt sulgudesse, näiteks 0,666.. = 0,(6); 0,1212… = 0,(12).

Vaatame nüüd näidet \frac{56}{90} = 0,6222\ldots2\ldots. Ka siin hakkavad jagatise numbrid korduma, aga mitte kohe pärast koma. Kümnendmurdu, milles periood ei alga vahetult pärast koma, nimetatakse segaperioodiliseks kümnendmurruks. Kümnendmurru 0,6222… võib kirjutada ka kujul 0,6(2).

Kuna ka iga lõplik kümnendmurd on esitatav lõpmatu perioodilise kümnendmurruna (näiteks 4,3=4,300000.. = 4,3(0)). Siis võime öelda, et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Samuti on võimalik näidata, et iga perioodiline kümnendmurd avaldub ratsionaalarvuna. Selle teisenduse jaoks on mõeldud välja isegi väike algoritm.

Teisendame 0,363636 .. harilikuks murruks. Tähistame 0,363636… tähega x, siis korrutades selle läbi 100ga  saame , et

100x=36,3636…..

Lahutades vasaku ja parema poole, saame, et 99x=36

ja sellele kümnendmurrule vastav harilik murd on

x=\frac{36}{99}=\frac{4}{11}

Teise näitena teisendame 2,1453453. Tähistame 2,1453453… tähega x. Kuna tegu on segaperioodilise kümnendmurruga, ei saa me nii lihtsalt. Korrutame siis vastavalt 10 ja 10000, et koma järgi võrdse perioodi saaks. lahutame vastavad pooled ja avaldades x saame x=\frac{21432}{9990}=2\frac{4}{11}

 

Viide: Tõnso,T., Veelma,A. “Matemaatika: X klass”


Meta: ratsionaalarv, kümnendmurd, lõplik kümnendmurd, lõpmatu kümnendmurd, perioodiline kümnendmurd, puhtperioodiline kümnendmurd, segaperioodiline kümnendmurd, lõpmatu perioodilise kümnendmurru avaldamine ratsionaalarvuna, harilik murd

 

Absoluutväärtus

DEFINITSIOON Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse arvu , mis rahuldab tingimust

|a|=\begin{cases} a, kui\, a\geq 0\\ -a, kui\, a<0\\\end{cases}

Esimest korda kasutas absoluutväärtuse tähisena kahte püstkriipsu Karl Weierstrass (1815-1897) 1841. aasta essees “Zur Theorie der Potenzreihen”. Reaalarvu absoluutväärtus analüütilises geomeetrias tähendab sellele arvule vastava punkti kaugus nullpunktist arvsirgel. Selle paremaks selgitamiseks vaatame joonist 1.

Joonis 1  Reaalarvude 6 ja -6 absoluutväärtuse kujutamine arvteljel

Sageli tekib probleeme absoluutväärtuse definitsiooni lugemise ja rakendamisega. Absoluutväärtuse definitsioon on sellepärast eriline ja raske, et selle rakendamine hakkab tegelikult hoopis definitsiooni lõpust. Proovime joonise 1 abil siia natuke selgust tuua. Joonisel on kujutatud reaalarvude 6 ja  -6 absoluutväärtuse geomeetriline esitus. Vaatleme esmalt joonise vastavust definitsioonile 6 korral. Definitsiooni esimeseks tähtsaks tingimuseks on tegelikult lausejupp kui\, a\geq 0 või kui\, a<0 . Järelikult peame esmalt kindlaks tegema, milline on arvu a suhe arvuga 0. Antud juhul kehtib meil esimene tingimus ehk 6\geq 0 . Siit liigume definitsioonis edasi ja saame, et sellisel juhul on |a|=a  ehk meie juhul |6|=6. Kuidas on lood -6 korral? Vaatame jälle esmalt suhet arvuga 0 ja siin kehtib seos kui\, a<0, sest -6<0. Jällegi liigume definitsioonis tagant poolt ette ja saame, et sel juhul on |a|=-a, ehk meie näite puhul |-6|=-(-6)=6 . Järelikult tagab antud definitsioon meile alati, et ükskõik millise reaalarvu puhul jääb kaugus nullpunktist alati positiivseks.

Absoluutväärtusel on mõningaid omadusi, mis ei ole jumalast antud vaid tuletatud vastavalt definitsioonile. Vaatame mõningaid omadusi ja ka nende tõestamist, mis kuulub tegelikult juba matemaatilise analüüsi algkursusesse, mitte enam gümnaasiumisse.

Esimene omadus: |a|\geq 0 .
TÕESTUS See sai põhjendatud juba eelnevalt kahe juhu korral, kui a=6 ja a=-6. Nüüd on jäänud veel ∞ palju juhte näidata. Seega teeksimegi seda siis ka üldjuhu puhul. Kuna absoluutväärtuse definitsioon jaguneb mingist hetkest alates kahte ossa, on tõestusi definitsiooni põhjal samuti mõtekas vaadata kahes osas. Vaatame esiteks juhtu “a\geq0“. Sel juhul on definitsiooni põhjal |a|=a või kui a=0, siis |a|=0 ehk a on alati positiivne. Teisel juhul, kui a<0, on vastavalt definitsioonile|a|=-a. Kuid sellest, et a<0, saame, et |a|=-a=-(-a)=a. Ka juhul a<0 jääb selle arvu absoluutväärtus alati positiivseks. Järelikult esimene omadus kehtib.

Teine omadus: |-a|=|a|
TÕESTUS: Teise omaduse tõestamine tugineb otsesel tõestusmeetodile. See tähendab, et me võtame ette kõigepealt juhu |-a| ja siis proovime definitsioone (teoreeme ) rakendades jõuda juhuni |a|. Kuna definitsioonis on juba arv a kasutatud, siis tõestuse paremaks jälgimiseks kasutame hoopis ühe suvaliselt valitud reaalarvu tähistamiseks tähte k,\, k\in \mathbb{R}.

Ok, lets´s go :). Otse definitsioonist siis

|-k|=\begin{cases} -k, kui\, -k>0\\ 0, \, kui\, k=0\\ k, kui\, -k<0\\\end{cases} =\begin{cases} -k, kui\, k<0\\ 0, \, kui\, k=0\\ k, kui\, k>0\\ \end{cases}

Absoluutväärtuse märgid pöördusid sellepärast ümber, et korrutasin neid -1 läbi.

Võttes nüüdloogelistes sulgudes teise ja kolmanda lause kokku, saame

|-k|=\begin{cases} -k, kui\, k<0\\k,\,kui\,k\geq 0\\\end{cases}=|k|,

sest loogelises sulgudes võime ülemise ja alumise osa ära avhetada ja siis see vastab täpselt absoluutväärtuse definitsioonile.

Kolmas omadus:  a\leq|a|,\,-a\leq|a|
TÕESTUS . Samuti üpris lihtne tõestus. Stiiliks järjekordselt otsene tõestusmeetod ja definitsiooni vahetu rakendamine. Vaatame esimest juhtu: a\leq|a|. Vaatame läbi esmalt juhu a>0. Absoluutväärtuse definitsioonist saame, et kui a\geq0, siis |a|=a. Juhul, kui a<0, siis definitsoonist saame, et |a|=-a=-(-a)=a. Kuna a<0, siis a\leq|a|. Viimast illustreerib ilusti eelnevalt esitatud -6 näide. Olgu a=-6, siis |-6|=6 ja kuna -6<6, siis -6<|-6|. teise omaduse põhjendamine on analoogiline ja jääb lugejale. Muidugi ma oleks õnnelik, kui keegi selle kommentaaridesse esitaks.

Neljas omadus: |a+b|\leq|a|+|b|,\,|a-b|\leq|a|+|b| (kolmnurga omadus)
TÕESTUS: Jääb lugejale proovida. Kui hätta jääte, küsige kommentaarides abi. See tuleb välja, kui kasutada 3 omadust ja siis liita neid omavahel ning rakendades definitsiooni.

Viies omadus: |ab|=|a||b|.
TÕESTUS: Ilmselt saab seda samuti tõestada vahetult definitsioonist, vaadates eraldi nelja erinevat juhtu, aga olen näinud varianti, kus kasutati omadust \sqrt{a^2}=|a|. Oleks meeldiv, kui keegi trükiks selle tõestuse sisse ja esitaks kommentaaridesse.

Pealkiri: Absoluutväärtus (Absolute value)
Alapealkiri:
Keel: Inglise
Autor: Math Tutoring Ctr
Faili tüüp: pdf
Maht: 7 lk

META: Absoluutväärtuse definitsioon (+ näide), tähtsamad omadused (+ näide), funktsiooni graafik, funktsiooni graafiku omadused, määramispiirkond, muutumispiirkond, absoluutväärtust sisaldavate võrrandite lahendamine definitsiooni põhjal, absoluutväärtuste omaduste tõestus, tõesta absoluutväärtus, Analüüs I, Elementary Calculus

Kuldne suhe

Me veel jõuame siin blogis sellest rääkida. Siiski ei saanud ma jätta teieni toomata ühte head videot, mida mu tore kursaõde Mirjam saatis. See iseloomustab natuke matemaatika olemust. teeme väikseid asju, aga äkki keegi vaatab kunagi selle kõige üle ja leiab, et me oleme teinud osa millestki suurest.Igatahes nautige.

—————————-

Seminaris tegi üks neiu kena sissejuhatuse sellele teemale:

Kuldlõige on ühe lõigu kaheks jaotumine viisil, et kogu lõigu pikkuse ja pikema osa suhe on võrdne pikema ja lühema osa suhtega. Tähistatakse \phi .

\phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}

Selle ligikaudne väärtus on 1.618033988749894848204586834365638117720309180…

On täheldatud, et paljud asjad looduses (taimed, loomad, ka inimesed) on kuldlõikeproportsiooniga. Näiteks inimese käelaba ja küünarvars on kuldlõikes \phi . Näitlikult võib öelda, et kaks lõiku  a ja   b on kuldlõikeproportsioonidega, kui

\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \phi

Muuhulgas on tähele pandud, et kui näiteks inimese proportsioonid paigast nihkuvad (pole enam kuldlõikes), siis kaasnevad sellega tervisehädad.

——————————————————————————————-
Meta: kuldlõige, phi, fii,

Tõestus, et ruutjuur kahest on irratsionaalarv.

Kuidas me teame, et ruutjuur kahest on irratsionaalarv? Teisisõnu, kuidas me teame, et \sqrt{2} pole kümnendmurruna mingisugust loogilist mustrit? Äkki see muster on väga hästi varjatud ja tuleb välja alles peale miljonit kohta? Või kui me vaatame peale miljonit ja esimest kohta, äkki tuleb muster veel hiljem välja?

Siinkohal tuleb mängu matemaatiline tõestus. Seda ei tõestata arvutitega. Kasutatakse hoopis vastuväitelist tõestust. Tegelikult seda võib tuua täiesti näidistõestuseks. Siin on arutlus ilusti olemas ja tõestus on lihtsasti jälgitav. Esitamegi siis tõestuse.

Tõestada, et \sqrt{2} on irratsionaalarv.

Oletame väite vastaselt, et \sqrt{2} on ratsionaalarv. Siis saame kirjutada \sqrt{2}=\frac{a}{b}, kus a ja b on täisarvud ja b on nullist erinev. Oletame, et \frac{a}{b} on ühisteguriteta. Ühisteguriteta tähendab seda, et ta on juba nii palju taandatud kui võimalik. Kui ta ei oleks ühisteguriteta, siis leiduks neil peale 1 veel mingisugune tegur, millega läbi taandades saaksime selle murru viia ikka kujule, kus ta on ühisteguriteta.

Siit saab järeldada, et 2=\frac{a^2}{b^2} ja a^2=2b^2 . Seega a^2 on mingisugune paarisarv,sest ta on kaks korda midagi. Siit saame teada, et a ise on samuti paarisarv. Miks? See ei saa olla paaritu, sest paaritu arv korda paaritu arv teevad kokku paaritu. Kui a on paaritu, oleks ka a \cdot a paaritu.

Kui a on nüüd paaris arv, siis ta ise avaldub kujul a=2k , kus k on mingisugune täisarv. Meil ei ole vaja hakata arutama, mis see k täpselt on, sest varsti jõuame vastuoluni.

Kui me asendame nüüd a=2k originaalvõrrandisse 2=\frac{a^2}{b^2} , saame järgneva:

2=\frac{(2k)^2}{b^2}

2=\frac{4k^2}{b^2}

2b^2=4k^2

b^2=2k^2

See tähendab, et b^2 on paarisarv, millest analoogse arutlusega järeldub, et b on paarisarv!!

KUIDAS on see vastuolu? Me alustasime väitest, et murd \frac{a}{b} on ühisteguriteta. Ja nüüd jõudsime välja selleni, et nii a kui b on paarisarvud, seega on neil kindlasti olemas ühistegur 2. Seega esialgne väide ei kehti ja \sqrt{2} ei saa olla ratsionaalarv.

Kasutatud materjal:

http://www.homeschoolmath.net/teaching/proof_square_root_2_irrational.php

————————————-

Meta: ruutjuur kaks, irratsionaalarv,  vastuväiteline tõestus, kuidas tõestada vastuväiteliselt,