Koostöö ülesanne

Kaks traktorit koos kündsid 15 tunniga ühe kuuendiku põllust. Kui esimene traktor töötaks üksi veel 12 tundi ja teine üksi  20 tundi, saaks küntud veel 20% põllust. Mitme tunniga künnaks kumbki traktor üksi kogu põllu?

Olgu 1. Traktori tööks kuluv aeg x tundi ja 2. Traktori tööks kuluv aeg y tundi.

Esimesel juhul töötatakse 15 tundi ja selle aja jooksul küntakse põldu  \frac{15}{x} + \frac{15}{y}=\frac{1}{6}

Teisel juhul töötab 1. traktor 12 tundi ja 2. Traktor 20 tundi. Kokku künnavad nad 20% ehk \frac{1}{5} põllust.

\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5}

Süsteem:

\begin{cases}\frac{15}{x}+\frac{15}{y}=\frac {1}{6}\\\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac {1}{5}\end{cases}

avaldan sellest x-i

\Leftrightarrow \frac{90y+90x-xy}{6xy} = 0 \Leftrightarrow 90y + 90x-xy=0\Leftrightarrow xy=90y+90x /:x \Leftrightarrow y=\frac{90y}{x}+90 \Leftrightarrow y-90=\frac{90y}{x} \Leftrightarrow x(y-90)=90y \Leftrightarrow x=\frac{90y}{(y-90)}

Asendan x-i teises võrrandis.

\frac{12}{\frac{90y}{(y-90)}}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{12y-1080}{90y}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{60y^2-5400y+9000y-90y^2}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{-30y^2+3600y}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{y+120}{15}=0 \Leftrightarrow y=120 ; x=\frac{90 \cdot 120}{120-90}=\frac{10800}{30}=360

Süsteemi lahendid:

x=360 ja  y=120

Kontroll:

Kui 1. Traktoril kuluks üksinda aega 360 tundi ja 2. Traktoril kuluks aega 120 tundi, siis koos töötades said nad küntud: \frac{15}{360} + \frac{15}{120}=\frac{1}{6} , mis vastab ülesande tingimustele.

Teisel juhul kündsid nad: {12}{360} + {20}{120}=\frac{1}{5} , mis vastab ülesande tingimustele.

Vastus: Esimesel traktoril kulus aega üksinda kündmiseks 120 tundi ja teisel traktoril 360 tundi.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META: võrrand, süsteem, võrrandisüsteem, kaks lahendit, koostöö ülesanne, võrrandisüsteemi koostamine

Natuke võrrandite lahendamisest

Pealkiri: Kordamine | Võrrandid
Alapealkiri: Erinevate võrrandite lahendamisest
Keel: eesti
Autor: Kaido Kariste
Faili tüüp: pdf
Maht: 4

Järgnevas failis on toodud tööleht mõningate võrranditega ja nende võrrandite lahendamise võtted.

META: lineaarvõrrandi lahendamine, murdvõrrandi lahendamine, juurvõrrandi lahendamine, absoluutväärtust sisaldava võrrandi lahendamine, absoluutväärtust sisaldav võrrand, määramispiirkond, f(x)=g(x)

Murdvõrrandid

Definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab ka muutujat murru nimetajas.

Näide ühest murdvõrrandist

\frac{2x^2}{x+1} + 1=\frac{2}{x+1}

Murdvõrrandi lahendamine

Vaatleme juba esitatud näidet. Viime kõik liikmed ühele poole, muutes üle viidud liikmete märgid.

\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} =0

Määrame võrrandi määramispiirkonna. Määramispiirkond on vajalik, et kindlaks teha kõik x väärtused. mille korral üldse võrrandil leidub lahendeid ja hilisemaks võõrlahendite kontrolliks. Antud võrrandi puhul on määramispiirkonnaks \mathbb{R} \ {-1} ( kogu reaalarvude hulk, millest on eemaldatud arv -1). Sel juhul tekib nulliga jagamine ja võrrand ei ole määratud. Muude arvude korral seda probleemi ei teki.

Leiame ühise nimetaja ja viime (vajadusel tegurdame nimetaja ja avame lugejas sulud.)

\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} = 0

Ühiseks nimetajaks on antud võrrandil on x+1. Laiendame ja viime kõik liikmed ühisele murrujoonele.

\frac{2x^2 + (x+1) -2}{x+1}=0

Tähtis koht murdvõrrandi lahendamisel! Murd saab olla siis ja ainult siis null, kui murru lugeja on null. Järelikult võime järgnevalt vaadelda ainult juhtu, millal lugeja on null.

2x^2 + x+1 -2 = 0

2x^2 +x -1= 0

x_1;_2 = \frac {-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

x_1;_2 = \frac {-1\pm\sqrt{1^2 -4\cdot 2 \cdot -1}}{2\cdot 2}

x= \frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}

x= \frac{-1\pm 3}{4}

x_1 = 0,5

x_2 = -1, võõrlahend, sest ei kuulu määramispiirkonda

Antud võrrandi lahendiks on x= 0,5

Murdvõrranditega puutume kokku erinevates koostöö ülesannetes.

Näide

Veekeskuse bassein täitub peapumba abil 6 tunni võrra kiiremini kui tagavara pumba abil. Mõlemad pumbad täidavad koos töötades basseini 4 tunniga. Mitme tunniga täitub bassein peapumba abil?

Kanname andmed tabelisse.

Olukord Aega kulub
basseini
täitmiseks(h)
Ühes tunnis
täidab (osa)
Ühe tunniga
täitis
peapump x 1 \frac{1}{x}
tagavarapump x+6 1 \frac{1}{x+6}

Ajaline summa: \frac{1}{4}

Koostame antud andmetest võrrandi \frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} =\frac{1}{4}

Määramispiirkonnaks on etteantud võrrandil \mathbb{R}\ {-6;0}

Viime kõik liikmed ühele poole, nii, et paremale poole jääks null

\frac{1}{x}+ \frac{1}{x+6} -\frac{1}{4}=0

\frac{4x+24+4x-x^2-6x}{4x(x+6)}=0\Rightarrow\frac{-x^2+2x+24}{4x(x+6)}=0

Lahendame lugejas oleva võrrandi.

-x^2-2x-24=0/:(-1)

x^2-2x-24=0

Lahendades Viete teoreemi abil, saame

\begin{cases}x_1 + x_2 =-p\\x_1\cdot x_2 =q\\ \end{cases}

\begin{cases}x_1 + x_2 =2\\x_1\cdot x_2=-24\\ \end{cases}

millest saame, et

  6 + -4 = 2

 6 \cdot -4 =-24

Lahenditeks on x_1 = 6 ja x_2 = -4. -4 ei sobi ülesande tekstiga (aeg ei saa olla negatiivne)

Vastus: Peapumbal kulub aega 6 tundi.

Meta: murdvõrrand, võõrlahend, murdvõrrandi lahendamine, määramispiirkond, koostöö ülesanne, koostööülesande lahendamine,

Võrrandite samaväärsus

Kaht sama tundmatut (või samu tundmatuid) sisaldavat võrrandit nimetatakse samaväärseks, kui nendel on kõik lahendid ühised või neil mõlemal lahendid puuduvad.

Näide

Võrrandid 2(x-5)=6 ja x-5=3 on samaväärsed, sest mõlemal on üks lahend x=8

Samuti ka \frac{1}{x-1}=0 ja x^2 +8=0, kuna neil mõlemail lahendid puuduvad.

Samaväärsed ei ole x^2 4=0, 2x =4 , sest ühel võrrandil on lahend, mida teisel ei ole (x=-2)

Võrrandite samaväärsust tähistab märk \Leftrightarrow

Kirja pannes näeks see nii välja

2(x-5)=6\Leftrightarrow x-5=3

Võrrandite samaväärsusteisendused

1. Võrrandite pooli võib vahetada.

f(x)=g(x) \Leftrightarrow g(x)=f(x)

2. Võrrandi pooltele võib liita (lahutada) ühe ja sama arvu või tundmatuid sisaldava avaldise, mis omab mõtet võrrandi kogu määramispiirkonnas (Võrrandi liikmeid võib viia võrrandi ühelt poolelt teisele poole, muutes üleviidava liikme märgi vastupidiseks).

f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)\pm m(x = g(x)\pm m(x)

3. Võrrandi pooli võib korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga.

f(x)=g(x)\Leftrightarrow cf(x)=cg(x), c\neq 0  ;

f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x):c=g(x):c, c\neq0

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn:AS Koolibri

META: võrrandite samaväärsus

Võrdus, samasus, võrrand

Võrrandite lahendamisega puutume alateadlikult kokku iga päev. Näiteks poe leti juures arvutades mitu kg banaane või õunu 2 euro eest saab, majapidamises kommunaalteenuste eest makstes ja isegi reede õhtuti mõnelt lõbusalt olemiselt koju tulles. Vaatame selleks ühte ülesannet.

Võrrandite edukaks koostamiseks ja lahendamiseks peame esmalt tutvuma mõningate võrranditega seotud mõistetega.

Loe edasi!

Ruut ja asjad. Ruutvõrrandi ajaloost

Sõna “algebra” tuleb ühe Araabiakeelse raamatu pealkirjast, mis on kirjutatud aastal 825. Autor, Muhammad Ibn-Musa Al-Khwarizmi, sündis ise aladel, mis kannab praegu Usbekistani nime. Suure osa elust veetis ta siiski Baghdadis, kus kaliif oli rajanud omamoodi teadusteakadeemia, mida kutsuti “Tarkuse majaks”. Al-Khwarizmi tegeles paljude aladega. Ta kirjutas geograafia, matemaatika kui ka astronoomia alaseid raamatuid. Kuid tema raamat algebrast on saanud siiani kõige kuulsamaks.

Al-Khwarizmi raamat algab arutlusega ruutvõrrandist. Nimelt vaatleb ta ühte kindlat probleemi.

Miskit tõstetud ruutu ja 10 juurt sellest samast suurusest on võrdne 39 dirhemiga. Kui öelda lihtsamalt, mida peab tõstma ruutu, mis siis 10 võrra kasvades oma enda juure võrra, on kokku 39.

Loe edasi

Viete valemid kuup- ja ruutvõrrandi lahendamisel

Koolis paljastatakse usinamatele õpilastele saladus, et ruutvõrrandi lahendamisel ei pea alati lahendama seda monstrum valemit (jutt käib siis taandatud ruutvõrrandist), vaid saab ka Viete valemitega. Mis need on ja kus need tulevad?

Ruutvõrrandi x^2+px+q näeb tegurdatud kujul välja (x-a)(x-b) , kus a ja b on mingid reaalarvud. Kuidas see tuleb? Korrutame siis need kaks sulgu omavahel läbi:

(x-a)(x-b) = x^2-bx-ax+ab =x^2+(-b-a)x+ab

Siit saame , et (-b-a)=p ja ab=q , millest esimest -1 läbi jagades saame, et a+b=-p   ja ab=q . Ongi Viete valemid olemas.

Tavaliselt on vaja lahendada taandatud võrrand x^2+px+q=0 . Kui see nii ei ole, saab selle antud kujule viia. Selle võib ju lahti kirjutada kujul (x-a)(x-b)=0 .

Milliseid järeldusi saab siit siis teha?

Millal on korrutis 0? Siis kui üks teguritest on null. Ja millal see antud juhul kehtib? Kui x on võrdne kas a või b-ga. Kui me vaatame nüüd vabaliiget q, siis see koosneb a ja b korrutisest, ehk q tegurid on a ja b. Seega annab q meile mingid lahendid kätte. Kuna neid võib olla mitu, on vaja kontrollida see üle seosega a+b=-p . Seega hakake lahendeid otsima vabaliikme tegurite hulgast ja kontrollima üle a+b=-p summaga.

Näide: Olgu meil antud ruutvõrrand x^2-7x+12=0 . Siin on p=7 ja q=12 . Vaatame q tegureid. 12=1\cdot12=2\cdot6=3\cdot4 ja lisaks veel variandid, kus mõlemad on miinusmärgiga. Seega potensiaalseteks lahenditeks on paarid (1;12), (-1;-12), (2;6), (-2;-6), (3,4) (-3,-4). Läbiproovides annab summaks seitse ainult paar (3,4)

Kuupvõrrandi puhul on valemite tuletuskäik analoogne. Peale sulgude korrutamist ja tegurdamist saame, et

x^3+(-a-b-c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc .

Nagu näha võib, peituvad lahendid vabaliikmeks. Kuna variante tekib päris palju, siis otsitakse tavaliselt ainult üks ja proovitakse Horneri skeemiga astme alandamisega viia kuupvõrrandi lahendamine ruutvõrrandi lahendamise ülesandeks.

Kuid kui kuupvõrrand on kujul x^3+p_{1} x^2+p_{2}x+p_{3} = 0 , siis Viete valemid avalduvad kujul:

a+b+c =-p_1

ab+ac+bc = p_2

abc=-p_3

Nii, et tegelikult saab ka kõik kuupvõrrandi lahendid kätte, kui lahendada vastav võrrandisüsteem. See ei pruugi olla lihtne, aga on võimalik.

—————

Meta: Kuupvõrrand, ruutvõrrand, Viete, kuupvõrrandi lahendamine, ruutvõrrandi lahendamine, polünoom, ühe tundmatuga ruutvõrrand