Siinusteoreem

Iga kolmnurga võime kõrguse abil tükeldada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks ning arvutada viimastest antud kolmnurga puuduvad põhielemendid. Kolmnurga otsene lahendamine (puuduvate põhielementide leidmine antud põhielementide kaudu) on siiski lihtsam. Selleks vajame lisaks seniõpitule veel mõningaid kolmnurga elementide vahelisi seoseid. Sageli kasutatavaks seoseks on nn. siinusteoreem:

TEOREEM  (Siinusteoreem) Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurga siinustega.

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}

TÕESTUS: Olgu antud kolmnurk ABC külgedega a, b, c ja nende vastasnurgad α, β, γ. Peame näitama nüüd, et \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}.

Selleks kirjutame kolmnurga ABC pindala välja kolm korda, iga kord erineva külje kaudu. Tulemused on muidugi võrdsed.

\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{1}{2}bc\sin\alpha

Korrutame saadud võrdusi 2-ga ning seejärel jagame korrutisega abc:

\frac{ab\sin\gamma}{abc}=\frac{ac\sin\beta}{abc}=\frac{bc\sin\alpha}{abc}.

Taandades igas murrus vastavad elemendid järeldub siit

\frac{\sin\gamma}{c}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}, ehk \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\clubsuit

Võrde kolme antud liikme järgi saame arvutada neljanda. Järelikult võimaldab siinusteoreem [1]

1)      arvutada kolmnurga külge, kui on teada kaks nurka ja ühe antud nurga vastaskülg;

2)      arvutada kolmnurga nurka, kui on teada kaks külge ja ühe antud külje vastasnurk

Kasutatud materjalid

Eteverk, E., Teeäär, A., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Tallinn: Valgus, 1974.

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Kd. 2. Tallinn: Koolibri, 2000.

META Siinusteoreem, siinusteoreemi tõestus, kolmnurga lahendamine, kaks külge ja ühe külje vastasnurk, külje seos vastasnurgaga,

Radiaanidest

Koolis oleme harjunud nurki mõõtma tavaliselt kraadides. On olemas ka teisi mooduseid surga suuruse mõõtmiseks. Üheks võimaluseks on mõõta nurga suurust ühikutes, mida kutsutakse radiaanideks. Mitmetes teaduslikes- ja insenerarvutustes eelistatakse radiaane teadlikult kraadidele.

DEF: kesknurk, millele vastava kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega.

Kasutades definitsiooni, leiame valemi vastava nurga kaare pikkuse arvutamiseks. me teame, et 1 radiaani suurusele nurgale vastab kaar pikkusega r . Järelikult vastab 2 radiaani suurusele nurgale kaar pikkusega 2r, nagu on kujutatud ka alloleval joonisel. Tähistades nurga suuruse radiaanides tähega \theta, saame ringjoone kaare pikkuse arvutamiseks valemi :

s=r\theta

Järgmine küsimus tekib kohe, et kui ringjoonele tiir peale teha, kui suur on siis see nurk radiaanides. kasutame oma äsja saadud valemit ja ringjoone ümbermõõtu. Seega

2\pi r = r\theta, millest r taandamisel jääb järgi \theta = 2\pi . Arvestades, et täispööre on 360^\circ, siis saame seose radiaanide ja kraadide vahel :

360^\circ = 2\pi rad

Sellest seosest on võimalik tuletada erinevate oluliste nurkade suurusi. Näiteks jagades mõlemaid pooli 12-ga saame, et 30^\circ = \frac{2}{12}\pi = \frac{\pi}{6}. Jagades mõlemaid pooli 8-ga saame 35^\circ = \frac{2}{8}\pi = \frac{\pi}{4} jne. Lisainformatsiooni saamiseks vaadake allolevat faili.

Kuid nüüd küsimus, mitu kraadi on üks radiaan? Selle jaoks on vaja 360^\circ jagada läbi 2\pi-ga. Siit saame seoseks

1 rad = \frac{360^\circ}{2\pi}=\frac{180^\circ}{\pi}=57,296^\circ

Pealkiri: Radians
Alapealkiri:
Keel: inglise
Autor: mathcentre
Faili tüüp: pdf
Maht: 8lk

META
kraad, radiaan, radiaani definitsioon, raadiuse pikkune kaare osa, kaare pikkuse arvutamine, seos kraadide ja radiaanide vahel, sektori pindala, erinevaid näiteid ja harjutusi.

Eratosthenes ja ringjoone kaare pikkus

Mina isiklikult tean kreeka matemaatikut Erathosthenest (276 -194 e.m.a) rohkem temanimelise “sõela” kaudu, mille abil saab algarve eraldada kordarvudest. Tuleb välja, et 240. a. paiku e.m.a. teostas ta oma kuulsa meridiaanmõõtmise.. Kasutades tänapäevaseid programme (Google Earth), püüame selle meetodi taastada ja vaatame, mida see tähendas.

Ta teadis, et Syene (vana aja linn praeguse Aswani lähedal) asetseb Alexandriast otse lõunas ja et suvise pööripäeva momendil langevad päikesekiired maapinnale Syenes risti (Syene asetseb Vähi pöörijoonel), samal ajal Alexandrias langevad päikesekiired maapinnale täisnurgast 7\frac{1}{5}^\circ võrra erineva nurga all. Lugedes maad kerakujuliseks. leidis Erathosthenes, et nurk, mis tekib Maa keskpunkti juures selle mõttelisel ühendamisel Alexandria ja Syenega suvise pööripäeva momendil (\angle AOS ) peab olema 7\frac{1}{5}^\circ. Seepärast on vastav kaar AS \frac{7,2^\circ}{360^\circ}=\frac{1}{50} ringjoonest. Siit järeldas Eratosthenes, et Maa ümbermõõt (meridiaani pikkus) on 50 korda suurem Alexandria ja Syene vahelisest kaugusest, mida hinnati 5000 egiptuse staadionile. Vaadates Google Earthi abil saadud joonist, on nende vahemaa ligikaudu 837 km. Erathosthenes sai vastuseks 250 000 egiptuse staadionit. Kilomeetrites tähendaks see 50 \cdot 837 =41850 km. Egiptuse staadioni pikkus ei ole meile täpselt teada (tavaline kreeka staadion oli umbes 185 m ja arvatavasti oli Egiptuse staadion lähedane), kuid usutakse, et Eratosthenese tulemus jääb kuhugi  39,690 km ja 46,620 km vahele. maa ümbermõõduks läbi pooluste on mõõdetud 40,008 km. Eratosthenese tulemus polnud sugugi paha. Veel enam, sest ta sai tegelikkusele lähedase tulemuse juba 1700 aastat enne Magalhaesi ümbermaailmareisi!

Huvitav on ka küsimus, kuidas mõõdeti Alexandria ja Syene vahelist pikkust. Seda tehti kasutades nende linnade vahel reisivate kaamlite keskmist kiirust. Läbi mitmete reiside saadi siis linnade vaheline keskmine pikkus. Kuid kas see fakt vastab tõele, ei ole jällegi kindlalt selge.

Kasutatud kirjandus:

Kärner, O., Levin, A. (1983).  Matemaatika ajaloo elemente I. Tallinn.

Alfred,R. (2008). June 19, 240 B.C.: The Earth Is Round, and It’s This Big

Eratosthenes The Measurement of the Earth’s Circumference Hands On Activity: Repeat Eratosthenes’ Experiment

META: Erathosthenes, ringjoone kaare pikkus, ringjoone pikkus, ringi ümbermõõt, maa ümbermõõt, Alexandria, Kreeka matemaatika, kaare pikkus.