Võrrandi sin (x)=m lahendamine

Võrrandil sin(x)=m on olemas lahendid vaid siis, kui |m|\le 1, sest alati -1 \le sin(x) \le 1. Võrrandi sin(x)=m lahendamine tähendab geomeetriliselt joonte y=sin(x) ja y=m lõikepunktide abstsisside leidmist. Nagu allolevalt jooniselt näeme, on neid lõpmata palju (punktide \ldots, A_1, A_2, A_3, \ldots abstsissid)

Võrrandi sin(x)=m üheks lahendiks on nurk \alpha = \arcsin m, kus -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}.

Et täisarvu k kordse perioodi 2\pi lisamisel argumendile siinusfunktsiooni väärtus ei muutu, siis on võrrandi sin(x)=m lahendeiks kõik nurgad x_1=\alpha+k\cdot 2 \pi, kus k \in \mathbb{Z}

Nurgad \alpha+2k\pi, k \in \mathbb{Z}, ei haara aga võrrandi \sin(x)=m kõiki lahendeid. Ka nurk \pi-\alpha on võrrandi \sin(x)=m lahend, sest \sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha=m. Lisades nurgale \pi-\alpha siinusfunktsiooni täisarvukordse perioodi saame, et võrrandi \sin(x)=m lahendeiks on ka nurgad

x_2=(\pi-\alpha)+k \cdot 2\pi = -\alpha + 2k\pi+\pi=-\alpha+(2k+1)\pi, k\in \mathbb{Z}

Jooniselt on näha, et rohkem lahendeid x_1 ja x_2 võrrandil \sin(x)=m ei ole.

Lahendeid x_1=\alpha + 2k\pi ja x_2=-\alpha + (2k+1)\pi ning \alpha = \arcsin m saab esitada üheainsa avaldisena, nn. üldlahendina kujul

x=(-1)^{n}arcsin (m) +n\pi, n\in \mathbb{Z}

Kui võrrandi \sin(x)=m lahendid leida kraadimõõdus, võib üldlahendi kirjutada kujul

x=(-1)^{n}\alpha +n\cdot 180^\circ, n\in \mathbb{Z}, -90^\circ \le \alpha \le 90^\circ.

Andes tähele n mingi kindla täisarvulise väärtuse, saame üldlahendist võrrandi ühe lahendi.

Lepmann, L., Lepmann, T. Velsker, K. (2001).  “Matemaatika 11. klassile”

META, siinus x, põhivõrrand, sin(x)=m, põhivõrrandi lahendamine, trigonomeetriline võrrand, üldlahend, siinuse üldlahend, kraadimõõt, radiaanmõõt

Trigonomeetriline võrrand

Trigonomeetria (kr. k.  trigōnon “kolmnurk” + metron “mõõtmine”) on matemaatika haru, mis tegeleb kolmnurkade külgede ja nurkade vaheliste seoste uurimisega . Siit tulenevalt on üpris loogiline järeldada, et neid seoseid peab saama kuidagi väljendada. Seetõttu on aja jooksul seoste väljendamiseks võetud kasutusele trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetria ajalugu ulatub tagasi nii kaugele kui Vana-Kreeka astronoomi Hipparchuse aega 200 a. e. kr. Suuremad läbimurded toimusid siiski alles 600 aastat hiljem — 5 saj. esimesel poolel. Milliseid trigonomeetrilisi funktsioone on üldse olemas?

Kindlasti neli tuntumat: siinus y=\sin(x), koosinus y=\cos(x), tangens y=\tan(x) ja kootangens \cot\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac {1}{\tan\alpha} e. tangensi pöördväärtus ja veel kaks vähemtuntumad seekans (\sec\alpha =\frac {1}{\cos\alpha} e. koosinuse pöördväärtus) ja koosekans (\csc\alpha =\frac {1}{\sin\alpha}) e. siinuse pöördväärtus. Lisaks on veel kõigi nende funktsioonide jaoks olemas arkusfunktsioonid – trigonomeetriliste funktsioonide teatavate ahendite pöördfunktsioonid, mida küll enam ei loeta trigonomeetrilisteks funktsioonideks, aga kasutatakse palju nendega seotud ülesannetes. Lihtsamalt seletatult, kui näiteks siinusfunktsiooni puhul antakse ette nurk ja me saame välja arvutada teatava suhte, siis arkussiinuse puhul antakse ette meile suhe ja me saame kätte sellele suhtele vastava nurga. Kuid mis on trigonomeetriline võrrand? Mis üldse on võrrand?

DEF : Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust muutujate väärtuste (võrrandi lahendite) leidmiseks.

Kellele ei meenu, mis oli võrdus, siis võrduse moodustasid kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga. Võrrandeid on mitut erinevat liiki, alustades lihtsatest ühe muutujaga lineaarvõrranditest ja lõpetades keeruliste eksponentvõrranditega. Kuid mis teeb võrrandist trigonomeetrilise võrrandi?

DEF: Võrrandit, milles tundmatu esineb vaid trigonomeetrilise funktsiooni argumendis, nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandiks.

Trigonomeetrilise funktsiooni argumenti tõlgendatakse radiaanmõõdus antud nurgana.

Nii on võrrandid \cos (3x) + \cos (x)=0 ja 2\sin(x)+3=0 trigonomeetrilised võrrandid, kuid 2x\sin\frac{\pi}{6}+\tan\frac{\pi}{23} ja 3x-5\cos(x)=0 pole trigonomeetrilised võrrandid.

Kõige lihtsamateks trigonomeetrilisteks võrranditeks  on võrrandid kujul

sin x= m ,  cos x =m,   tan x =m,

kus m tähistab antud arvu. Neid võrrandeid nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks.

Kuidas trigonomeetrilisi võrrandeid lahendada? Siinkohal oleks sobilik meelde tuletada ühte matemaatikaga seotud anekdooti matemaatikust, kes õppis teed keetma.

Füüsik õpetab matemaatikule, kuidas teed keeta.
Kõigepealt on vaja võtta tühi teekann, lasta kraanist vett täis, süüdata gaasipliit ja asetada kann tulele. Matemaatik on jube õnnelik, tormab koju ja kuulutab naisele, et tema oskab nüüd teed keeta. Naine viib ta kööki gaasipliidi juurde, pistab pihku tikud ja vett täis teekannu.
Mida teeb matemaatik? Loomulikult valab kannu tühjaks, olles ülesande taandanud sellisele, mille lahendust ta juba teab!

Samuti püütakse keerulisemate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine teisenduste abil viia ühe või mitme põhivõrrandi lahendamisele.

Näiteks selleks, et lahendada võrrand

\sin^2 (x)-\frac{3}{5}\sin(x)-\frac{2}{5}=0

Lahendatakse see esmalt sin(x) suhtes kui ruutvõrrand:

sin(x) = \frac{3}{10} \pm \sqrt{\frac{9}{100}+\frac{2}{5}}=\frac{3}{10} \pm\frac{7}{10}, kus saame, et \sin x=1 \vee \sin x = -0.4

Järgnevalt tuleb lahendada põhivõrrandid \sin x=1 ja \sin x = -0.4

  1. Põhivõrrandi sin(x)=m lahendamine

Pealkiri: Trigonomeetrilised võrrandid
Alapealkiri: Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine
Keel: Eesti
Autor:
Faili tüüp: pdf
Maht: 4lk

Faili meta: sin x = m lahendamine, cos x =m lahendamine, tan x =m lahendamine, näiteülesanded ja lahendused.

Kasutatud materjal:

  • http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometry
  • Abel, E., Abel, M., Kaasik, Ü. (2006). Koolimatemaatika Entsüklopeedia.
  • Lepmann, L., Lepmann, T. Velsker, K. (2007). “Matemaatika 11. klassile” Tallinn: Koolibri.

META: trigonomeetria, trigonomeetriline funktsioon, võrre, võrrand, trigonomeetriline võrrand, siinus, koosinus, tangens, kootangens, seekans, koosekans, arkusfunktsioon, arkussiinus, arkuskoosinus, arkustangens, trigonomeetrilised põhivõrrandid, põhivõrrand.