Ringmängu kombinatoorika

Kuna pokkerist sai juba räägitud, siis natuke sellega ka jätkame. et asi selgeks saada, vaatame hästi lihtsat ülesannet.

Kolm pokkerimängijat istuvad ümber ümarguse mängulaua. Mitmel erineval viisil saavad nad seda teha.

Ümberpaigutuste jaoks oli meil permutatsioonide valem. Selle kohaselt peaks võimaluis olema 3!=6. Tegelikult see nii ei ole. Nimetame antud juhtumit ringmängu kombinatoorikaks. Tähistame mängijad tähtedega A, B, C. Siis võimalikud paigutused oleksid ABC, BCA, CAB, ACB, BAC ja CBA. Nüüd tuleb mängu ringikujuline laud. Kui võtame paigutuse ABC, siis BCA ja CAB on saadud selle pööramise teel ja tegelikult uut kombinatsiooni ei anna. Uue kombinatsiooni saaksime siis, kui vahetaksime mängija B ja C kohad. Sel juhul saaksime pööramise teel variandid BAC ja CBA. Järelikult on meil kaks kombinatsiooni. Ehk kolme mängija puhul jäi kaks võimalikku erinevat viisi.

Üldse, kui vaadelda permutatsioone ringjoonel paiknevast n esemest ja lugeda ühesugusteks paigutusi, mis lähevad üksteiseks üle pööramise teel, siis on erinevate permutatsioonide arv

(n-1)!

Seitse neidu mängivad ringmängu. Mitmel erineval viisil võivad nad ringis seista.

Kui nad seisaksid paigal, saaksime 7!=5040 permutatsiooni. Et aga mängijad käivad ringi, siis pole nende asend ümbritsevate esemete suhtes oluline, tähtis on vaid nende omavaheline paigutus. Seetõttu tuleb mängijate ringikäimisel üksteiseks üleminevaid permutatsioone lugeda ühesugusteks. Kuid igast permutatsioonist võib ringliikumisel saada veel kuus uut permutatsiooni. Seega tuleb arv 5040 jagada seitsmega. saame 5040:7 =720 erinevat neidude paigutust ringmängus.

Neli musketäri istuvad ümber ümmarguse veinilaua. Mitmel erineval viisil saavad nad seda teha (12. klassi õpik)

Eriline maiuspala. Õpiku taga oli vastuseks 4! = 24. Tegelikult vastavalt ülalnimetatud valemile on see 3! =6.

Kasutatud kirjandus: Vilenkin. N. (1975). kombinatoorika.
Tõnso, T., Veelmaa. A. (1996). Matemaatika: 12. klass

Meta: kombinatoorika, ringmäng, ringi kombinatsioonid, permutatsioonid, ringis, ümarlaud, ringis istumise võimalused

Pokkeri matemaatika

Pokker on mäng kus pannakse korralikult kontrollile strateegia ja isiksuseomadused, kuid nende omaduste arendamiseks peaks enne pilgu peale viskama valitsevatele tõenäosustele pokkeri mängus. See mõistmine on olemas igal pokkerimängijal, kuigi arvatavasti on ta selle saanud mängides kui õppides ja arvutades. Ta võib olla ei ole ise teadlik, et tal see omadus olemas on.

Mehed, kes pokkeri leiutasid, reastasid  võimalikud käed vastavalt tuleku tõenäosusele, kuigi ridade tuleku tõenäosusest oli mõningat aega natuke vale arusaam. Käte reastamine hakkab loomulikult arvutamisest, mitu erinevat viie kaardist kätt on võimalik jagada 52 kaardisest kaardipakist.

Neid saamearvutad , kasutades kombinatsioone n-elemenist k- kaupa. Multikates võime näha, kus mõnel tegelasel on viis ässa käes. siis peaksime kasutama kordumistega kombinatsioone. Reaalses elus on vast igat kaarti pakis üks ja kasutame seetõttu kordumisteta kombinatsioone.

C_{n}^{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}

Meil on n=52 ja k=5. Seega saame

C_{52}^{5}= \frac{52!}{5!\cdot 47!}= 2598960

Seega on kokku üle 2,5 miljoni võimaliku käe. Vaatame nüüd, kui palju on erinevaid käsi ja millised on nende järjestus.

Jätka lugemist

Kui juhuslik on lototerminali numbrite valik?

Ma ei saanudki sellele kirjale vastust, aga otsustage ise, kui tõenöoline see on.

Tere

Kirjutan Teile, kuna tahaksin juhtida tähelepanu ühele sündmusele, mis on statistiliselt küll võimalik, aga reaalselt ebatõenäoline.

Ostsin homseks loosimiseks kaks Bingo loto piletit, millel on mõlemal nurgas number 12 e. B12 on üks nurkadest.
Kui me mõtleme nüüd natuke kombinatoorikale ja tõenäosusteooriale, siis häda pärast suudaksin ühe pileti puhul veel leppida, aga mitte kahe puhul. Miks? Ühe pileti puhul on see tegelikult küllalt suur õnn, aga veel loogiline. Meil on 15 arvu ja kahe arvupaari valikuks viieteistkümnest on meil C_{15}^2 e. kombinatsioonid 15-st kahe kaupa, mis teeb kokku 105 võimalust. Seal sees on kõik need kaheteistkümnega ja ülejäänud numbritega paarid. Võtame maha need paarid, kus 12 on sees: (12, 1), (12,2) .. (12, 15) — neid on 15 tükki. Siis jääb terminalil valida VEEL 105 -15 = 90 variandi vahel. Kopeerin arvuti poolt genereeritud variandid siia alla:

Combinations without repetition (n=15, r=2)
{1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} {1,7} {1,8} {1,9} {1,10} {1,11} {1,12} {1,13} {1,14} {1,15} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} {2,9} {2,10} {2,11} {2,12} {2,13} {2,14} {2,15} {3,4} {3,5} {3,6} {3,7} {3,8} {3,9} {3,10} {3,11} {3,12} {3,13} {3,14} {3,15} {4,5} {4,6} {4,7} {4,8} {4,9} {4,10} {4,11} {4,12} {4,13} {4,14} {4,15} {5,6} {5,7} {5,8} {5,9} {5,10} {5,11} {5,12} {5,13} {5,14} {5,15} {6,7} {6,8} {6,9} {6,10} {6,11} {6,12} {6,13} {6,14} {6,15} {7,8} {7,9} {7,10} {7,11} {7,12} {7,13} {7,14} {7,15} {8,9} {8,10} {8,11} {8,12} {8,13} {8,14} {8,15} {9,10} {9,11} {9,12} {9,13} {9,14} {9,15} {10,11} {10,12} {10,13} {10,14} {10,15} {11,12} {11,13} {11,14} {11,15} {12,13} {12,14} {12,15} {13,14} {13,15} {14,15}

Järelikult kasutades klassikalist tõenäosust on #12 sattumis võimalus \frac{15}{105}= \frac{3}{21}. Kolm inimest 21st saaksid endale numbri 12 nurka. Aga kui suur on võimalus saada KAKS järjestikust piletid, millel on 12 nurgas??

Kogu võimaluste arv on meil C_{210}^2 , mis on 44100. Soodsaid võimalusi on 15*15=225. Järelikult on tõenäosus saada KAKS PILETIT, MILLEL ON 12 NURGAS \frac{225}{44100} =\frac{1}{196}

Siit oskan ma kaks järeldust teha. Kas raiskasin ma oma homse õnne lotopiletite ostmise peale ära või on selles terminalis juhusliku valiku algoritmiga midagi juhtunud.

Tegelikult on asi veel kummalisem, sest kui ma ostsin sealt samast kaks nädalat tagasi, sain samuti kaks piletit nurkadega B12.

Tervitades ja vastust oodates

Kaido

META: matemaatika igapäevaelus, kombinatoorika, bingo loto, tõenäosusteooria, kombinatsioonid, klassikaline tõenäosus

Matemaatikaga ennustusvõistlusele

Delfi kuulutas välja jalgpalli MM ennustusvõistluse, millest ma mõtlesin oma matemaatiliste oskustega osa võtta. Tegelikult pakkus mulle huvi see kui üks hea kombinatoorika ülesanne.

Jalgpalli MMi veerandfinaalides on vastamisi Brasiilia-Holland, Uruguay-Ghana, Saksamaa-Argentina ja Hispaania-Paraguay. Osale ennustusvõistlusel ja vali neli poolfinaali jõudvat meeskonda!

leidsin netsit muuseas ka ühe väga hea kombinatsioonide arvuti, mis mind säästab mehaanilisest tööst. kes vaatab artikleid, siis sinna alla on vaja telefoninumbreid. Kui palju meil siis üldse võimalusi on. kaheksast meeskonnast nelja väljavalimiseks on:

C_{8}^{4}=70

Natuke palju. Annab trükkida neid telefoninumbreid sisse. Keda huvitab, millised need kõik on, siis selle väikese kalkulaatori abiga saab teada.

Õnneks on olemas paar kitsendust. Näiteks paar Brasiilia – Holland. Need mõlemad ei saa edasi pääseda. Järelikult kaovad ära kõik sellised hulgad, kus on sees nii BRA kui ka HOL. Neid on

C_{6}^{2}=15

Kuidas ma selle sain. Fikseerisin kaks meeskonda ära ja ülejäänud kahele kohale saame valida kuue meeskonna seast 2. Need hulgad oleksid siis:

{Hol,Uru,Bra,Gha},{Hol,Uru,Bra,Arg},{Hol,Uru,Bra,Ger},{Hol,Uru,Bra,Par}
{Hol,Uru,Bra,His},{Hol,Bra,Gha,Arg},{Hol,Bra,Gha,Ger},{Hol,Bra,Gha,Par}
{Hol,Bra,Gha,His},{Hol,Bra,Arg,Ger},{Hol,Bra,Arg,Par}, {Hol,Bra,Arg,His}
{Hol,Bra,Ger,Par},{Hol,Bra,Ger,His},{Hol,Bra,Par,His}

Järgi jäi 70-15=55 varianti.

Sama asi on ka tegelikult Uruguay – Gahanaga, Saksamaa – Argentiinaga ja Hispaania – Paraguayga. Ainult nüüd tuleb arvestada veel seda, et kui me lahutame kogu hulgast ära 15 BRA – HOL varianti, on nende seas ka variandid, kus kohtuvad kus on korraga sees URU,GHA või ARG,GER või HIS,PAR. Seega järgmisena hakates lahutama kõiki hulki, kus on sees URU,GHA, on seal järgi 14 varianti. BRA, HOL oma on sealt kadunud. ARG,GER paaridest on kadunud URU,GHA ja BRA,HOL ja järgi on 13. HIS-PAR puhul on järgi 12.

Seega palju sõpru peaks olema, et kindla peale minna

C_{8}^{4} - 4 \cdot C_{6}^{2} +6 =70 - 4 \cdot 15 +6 =16

{Hol,Uru,Arg,Par}, {Hol,Uru,Arg,His}, {Hol,Uru,Ger,Par},{Hol,Uru,Ger,His}
{Hol,Gha,Arg,Par}, {Hol,Gha,Arg,His}, {Hol,Gha,Ger,Par}, {Hol,Gha,Ger,His},
{Uru,Bra,Arg,Par}, {Uru,Bra,Arg,His}, {Uru,Bra,Ger,Par}, {Uru,Bra,Ger,His}
{Bra,Gha,Arg,Par}, {Bra,Gha,Arg,His}, {Bra,Gha,Ger,Par}, {Bra,Gha,Ger,His}

Seega sõbrad, ärge üllatuge, kui teile mõni SMS tuleb, et olete võitnud.

Meta: kombinatoorika, ennustamine, jalgpalli mm, veerandfinaalid, kombinatsioonid, kordumisteta kombinatsioonid

Kordumistega ühendid

Kordumistega kombinatsioonid

Kombinatsioonid niisuguse põhihulga korral, mille n erinevast elemendist võib igaühte kasutada suvalises arvus eksemplarides. Kordumistega kombinatsioonide, s.t m-elemendilise osahulkade arv avaldub kujul (tavaliste kombinatsioonide arvu tähist C_{n}^{m} kasutades) kujul

C_{n+m-1}^{m}=\frac{(n+m-1)!}{m!(n-1)!}

Näiteks kui müügil on vaid punaseid, siniseid ning kollaseid pliiatseid (s.t. n=3), siis nelja pliiatsi (s.t. m=4) ostmiseks leidub C_{3+4-1}^{4}=15 erinevat võimalust, nimelt ost saab olla üks pliiatsihulkadest : {pppp}, {ppps},{pppk},{ppss},{ppsk},{ppkk},{psss},{pssk},{pskk},{pkkk},{ssss},{sssk},{sskk},{skkk},{kkkk}, kus p,s või k tähistavad vastavalt punast sinist või kollast pliiatsit.

Loe edasi  Jätka lugemist

Kuidas statistika aitas võita sõda

Siin on üks matemaatiline jutt, mis mulle meeldib. Esiteks sellepärast, et see on tõsi ja teiseks sellepärast, et sellel on tulemus. Küll on see tulemus väike, aga siiski olemas. Antud artiklis tuleb juttu, kuidas väike statistika aitas liitlasvägedel avastada sakslaste tankide toodangut ajal, mil see polnud luureandmetega võimalik.

Aastal 1941-42 olid nii brittide kui ameeriklaste tankid lahinguväljal paremad, kui sakslaste Panzerid. Siiski olid nad mures uute mark IV ja V võimekuses. Veel häirivamalt mõjus see, et nad ei teadnud, kui palju vastane on võimeline aastas tootma. See takistas lääne rinde avamist.

Üks võimalus oli muidugi paluda luurel uurida, kuid saadud faktid kõlasid väga vastuoluliselt. Edasi pöördutigi oma statistilise luure poole, et need numbreid natuke korrigeeriks.

Statistikutel oli üks võti rohkem – omandatud Panzer V seerianumbrid. Nad arvasid, et sakslased on kuidagi loogiliselt nummerdanud toodetud tankid ja see nii tegelikult oligi. Seega oli võimalik arvutada, kui palju teatud ajahetkeni oli tanke toodetud.

Idee seisnes selles, et omandatud tanki kõrgeimat seerianumbrit sai kasutada üleüldise toodangu arvutamiseks. Sakslaste tankid olid nummerdatud 1, 2, 3 … n , kus n oli soovitav tankide arv. Oletame, et nad vangistasid viis tanki seerianumbritega 20, 31, 43, 78 ja 92. Neil oli nüüd valim viiest tankist suurima seerianumbriga 92. Olgu valimi arv s ja maksimaalne seerianumber m. Peale uuringuid teiste valimitega saadi selgeks, et parim võrdus iseloomustamaks tankide tootmist võiks olla:

\frac{(m-1)(s+1)}{s}

Näite põhjal teeks see (92-1)(5+1)/5 = 109,2. Seega ennustatav toodang selleks ajaks võiks olla 109.

Kasutades seda valemit, said statistikud, et sakslased tootsid 1940 aasta juuni ja 1942. aasta septembri vahel 246 tanki kuus. Luure pakkuks selleks numbriks 1400. Peale sõda saadi kätte sakslaste tooteplaanid ja selgus, et nendel kolmel aastal tootsid nad 245 tanki kuus, mis moodustas peaaegu sama arvu, mida pakkusid statistikud ja ainult 1/5 luure pakutust.

Liitlased avasid läänerinde 1944 aastal ja Panzeritest käidi kergelt üle teel Berliini. Nii andsid statistikud tõuke sõja võiduks

Kasutatud materjal

Davis, G. (2006). How a statistical formula won the war. [www] http://www.guardian.co.uk/world/2006/jul/20/secondworldwar.tvandradio (19.03.10)