Määramispiirkond – kuidas seda määrata?

Mis on viga neil keskkooli matemaatikaküsimustel ?

  1. Milline on funktsiooni  f(x)=\frac{1}{x} määramispiirkond?
  2. Millisel kohal funktsioon f(x)=\ln(x) määramata?
  3. Tee kindlaks funktsiooni f(x)=x^2 muutumispiirkond.

Neid küsimusi on õpetajal vaja pidevalt küsida ja seni ei ole minul probleemi olnud, samas nüüd tuleb hakata suhtuma neisse küsimustesse väikese ettevaatlikusega. Kas te näete, mis neil küsimustel viga on?

Määramispiirkond

Funktsioon on ainult siis hästi defineeritud, kui ta on defineeritud koos oma määramispiirkonnaga. Miks muidu algab analüüsis või algebras mõni funktsiooni puudutav tõestus alati sõnadega “Olgu meil antud funktsioon f:A\to B“.  Funktsiooniks f nimetatakse eeskirja kahe hulga A ja B vahel, mis seab iga hulga A elemendile vastavusse ühe kindla elemendi hulgast B . Hulka A nimetatakse määramispiirkonnaks (domain) ja hulka B sihthulgaks (codomain). Kui  f on funktsioon, mis kujutab hulga A elemente hulka B, märgime me sageli selle üles sümboliga f:A\to B. Võtame näiteks funktsiooni f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} defineeritud seosega f(x)=e^x

Selle funktsiooni määramispiirkond on \mathbb{R} kuna nii on see funktsioon defineeritud. Pange tähele, kuidas selgesõnaliselt anti funktsiooni määramispiirkond enne funktsiooni defineerivat reeglit. Tehniliselt peaks seda tegema alati kui mingit funktsiooni defineerida.

Me võime küsida õpilaselt, “Mis on määramispiirkond funktsioonil f(x)=e^x?”, kuid tegelikult on see vilets küsimus . Funktsiooni reegel ei ole iseenesest hästi defineeritud. Selle funktsiooni jaoks on olemas mitmeid võimalikke määramispiirkondi, näiteks täisarvudehulk \mathbb{Z}, positiivsete reaalarvude hulk \mathbb{R}^+, või 20 ja  30 vahel olevad ratsionaalarvud. Mida õpetaja ilmselt silmas peab, on “Mis suurim võimalik hulga \mathbb{R} alamhulk, mida saaks kasutada määramispiirkonnana reeglile f(x)=e^x?” Sel juhul oleks vastuseks, et \mathbb{R} ise.

Seega ma loodan, et te näete, miks küsimus (1) selle postituse alguses ei ole eriti täpne küsimus. Samuti ei ole ka küsimus (2) täpne . “Millisel kohal on \ln{x} määramata?” omab mitmeid erinevaid vastuseid. Õpetaja ootab ilmselt vastuseks (-\infty,0]. Küsimus oleks paremini sõnastatud nii: “Millised reaalarvulised väärtused ei saa olla \ln{x} määramispiirkonnas?”

Muutumispiirkond

Kuidas on lood muutumispiirkonnaga? Sihthulk näites f(x)=e^x on samuti \mathbb{R}. Kuid muutumispiirkond eeskirjal f on (0,\infty). Funktsiooni muutumispiirkonda defineeritakse kui hulka, kus iga  y\in B puhul leidub x\in A nii, et  f(x)=y.

Kui muutumispiirkond sõltub määramispiirkonna valikust. Seega küsides küsimust nagu on näiteks küsimus (3), “Teha kindlaks funktsiooni f(x)=x^2 muutumispiirkond” ei ole täpne samadel põhjustel, mida käsitlesime ülal. Ihaldatud vastus on ilmselt [0,\infty). Kuid määramispiirkond eeskirjal f(x)=x^2 võivad olla täisarvud, mille puhul oleks muutumispiirkonnaks ainult positiivsed täisarvud. Seega juhtum (3) puhul oleks palju täpsem küsimus “Tee kindlaks funktsiooni f(x)=x^2 muutumispiirkond, kus x\in\mathbb{R}.”

Kas me peaksime muutma õpetamist?

Võib olla ja võib olla mitte. Usun, et küsime siiski edasi küsimusi samal viisil nagu posti alustasime. Täpsemat küsimuste formuleerimine võib põhjustada ebavajalikku segadust paljude tudengite jaoks. Kuid meie õpetajad peaksime olema teadlikud oma väiksest ebatäpsest kõnemaneerist ja valmis andma täpsemaid vastuseid õpilastele, kes seda märkavad ja selle kohta küsivad.

Kasutatud materjal

Teaching domain and range incorrectly. (2011).

META: funktsioon, funktsiooni mõiste, määramispiirkond, lähtehulk, sihthulk, muutumispiirkond, eeskiri, matemaatiline keel.

Ludolph van Ceulen (1540 – 1610)

Oma magistritöö käigus tegin just ülevaadet Hiina matemaatika ainekavast ja nende haridussüsteemist, kui järsku ilmusid mu ette päris mitu huvitavat nime. Üks neist oli Ludolph van Ceulen, saksa/hollandi matemaatik. Hiinas räägitakse sellest mehest 8 klassis, kui käsitletakse \pi-d. \pi-st on meil varem ka siin blogis juttu olnud. Üks kirjutis on sellest, et 14. märts tähsiatatakse rahvusvahelist “pi” päeva. Siis on veel üks postitus “pi” luuletusest. Nüüd siis üks mees, kellel on oma roll pii ajaloos.

Teda võib jätta meelde ühe lausega: väsimatu käsitsi arvutaja, kes viis \pi 35 ühikuni ja lasi need seejärel oma hauale graveerida.

Van Ceulen oli saksa matemaatik, kes elas 16. sajandil. Hollandisse ta põgenes 1500. aasta lõpus rõhumise eest. Tal oli kaks huvi. matemaatika ja mõõgavõitlus, täpsemalt vehklemine. Viieteistkümne aastaselt hakkas ta õpetama neid mõlemaid kunste Hollandi ülikoolis, kuid tema elueesmärk oli arvutada “teadmata suhet” (seda kreeka tähte hakati alles 100 aasta pärast kasutama).

Ludolph kasutas komakohtade arvutamiseks samu vahendeid mida hiinlased ja kreeklased (nagu Archimedes) olid kasutanud juba 1000 aastat enne teda. Teisisõnu oli tegu üpris vanakooli meetodiga. ta kasutas seda, mida me hetkel õpime kõrgkoolides, et arvutada väga paljude külgedega kujundite pindala. Mõelge ringist kui korrapärasest hulknurgast, millel on lõpmatu palju külgi. Ludolph jõudis sellele päris lähedale – 32 miljardit nurkne. Kujutage teda veetmas aastaid arvutades käsitsi 32 miljardnurkse pindala. Wow! . Ühel hetkel avaldas ta 20 kohta ja oma elu lõpus leidis ta esimesed 35. Ludolph oli nii uhke oma suure saavutuse üle, et ta lasi need numbrid oma hauakivile graveerida. Omalaadi isiklik Guinessi rekordite raamat.

Kuid see hauakivi ei püsinud kaua. Selle vahetas ära ta lesk, natuke aega peale tema surma. siis vahetas kivi paar korda peremehi, kuni ta lõpuks lõigati parajaks, et mahutada kaarsambale kohalikus St. Peteri kirikus. hea, et me ei pea kasutama seda graveeringut siiani matemaatilistel eesmärkidel. 11 aastat peale Ceuleni surma leidis hollandlane Willebrod Snell palju kiirema mooduse, kuidas teha neid arvutusi, mida ceulen tegi eluaeg.

17 sajandil alustas juba Isaac Newton matemaatilise analüüsiga ja uus naljakas trigonomeetriline funktsioon (arkustangens) muutus peamiseks stiiliks pi arvutamisel. 1706 aastaks oli teada juba 100 ühikut.

Siiski mälestavad sakslased van Ceuleni pingutusi ja kutsuvad vahel \pi-d “Ludolphi numbriks”. Nii, et pidage meeles kui satute kunagi Saksamaale vehklemisvõistlustele ja keegi küsib, et kuidas kutsutakse ringi ümbermõõdu ja diameetri suhet.

http://www.teachpi.org/stories.htm

META: Ludolph van Ceulen, Willebrod Snell, Newton, Ludolphi number, pi, pii, ringi ümbermõõdu ja diameetri suhe, pii ajalugu, pii kohad, pii 35 kohta

Pi päev

\pi on matemaatiline konstant, mille väärtus on suvalise ringi ümbermõõdu ja diameetri suhe. Selle väärtus on ligikaudu 3,141593. \pi on irratsionaalarv. See tähendab, et seda ei saa avaldada täpselt murruna kujul m/n, kus m ja n on täisarvud.

\pi päev on kuupäev, millal tähistatakse matemaatilist konstanti \pi. Kuna \pi esimesteks arvudeks on 3, 1 ja 4, tähistatakse seda päeva paljudes riikides 14. märtsil. Eriti lahe on see, et samal kuupäeval on ka Albert Einsteini sünnipäev ja siis tähistatakse neid kahte tähtsat asja koos.

Teatavasti kirjutatakse Ameerikas kuupäeva kujul kuu/päev. Euroopas me kirjutame kuupäevi teistpidi ja neljateistkümnendat kuud ei olegi olemas, ei ole 3.14 kuupäeva. Aga pole hullu. Teatavasti on \pi lõpmatu kümnendmurd ja 3,14 on lihtsalt Archimedese poolt pakutud hästilevinud ümardus selle väärtusele. Tegelikult on 22/7  \pi väärtusele natuke lähemal. Sealt siis ka Euroopa vastav püha – 22. juuli. Seda nimetatakse \pi approximation day. Ehk siis ligilähedaselt hinnatud \pi päev.

Vahel omistatakse mingit tähtsust ka \pi minutile. See on siis selline ajahetk, kui 14. märtsil näitab kell neid nubreid, mis on \pi järgmisteks komakohtadeks.

Traditsiooniliselt sisaldab \pi päeva tähistamine: piruka söömist (pirukas inglise keeles hääldub sama moodi nagu \pi ), \pi tähtsuse üle arutlemist ja Einsteini mälestamist.

Esimene \pi päeva tähistamine toius 1988. aastas San Franciscos.

Chuck Norris teab \pi viimast numbrit!

——————————————————————————-

Meta: Pii luuletus, Pi(1998), ringjoon, diameeter, ümbermõõt, irratsionaalarv, Einstein, Pii päev, Pi päev, Archimedes, San Fransisco, esimene pii päev