Kanepilehe joon

Olen tahtnud seda postitust juba ammu teha, aga ei ole aega leidnud. Nimelt käisin siin paar kuud tagasi Nõo Reaalgümnaasiumis väikest arvutipraktikumi andmas ja tegelesime polaarkoordinaatidega. Seal postituses on ka kirjas, kuidas GeoGebras ise endale polaarkoordinaadistik teha ja siis kuidas panna GeoGebra joonestama polaarkoordinaatides antud jooni. Otsustasime lõpuks teha Geogebrale ultimate-testi e. õpilased leidsid netist ühe vinge polaarkoordinaatides antud joone.

Tegu on siis kanepilehte meenutava joonega, mille võrrand polaarkoordinaatides on:

r(\theta)=a[1+\frac{9}{10}cos(8\theta)][1+\frac{1}{10}cos(24\theta)][\frac{9}{10}+\frac{1}{10}cos(200\theta)](1+sin(\theta))

Selline võrrand hirmutas muidugi paljud alguses ära ja alguses käiski nöökimine, et no tee sellise võrrandiga joon ära. Lõpuks ütlesin neile, et heaküll, teeme siis. Milles küsimus :).

Loe edasi

Polaarkoordinaadistik

Esmakordsel tutvumisel koordinaatsüsteemidega tutvustati Teile kindlasti ristkoordinaadistikku e. Cartesiuse koordinaadistikku (joonis a). Tegu on standardsete punkti P x ja y koordinaatidega, kus x-telg on horisontaalne, y-telg vertikaalne ja nende lõikepunkti tähisitatakse tähega O (origin).

Alternatiivseks variandiks kasutada (x, y) koordinaatidele või Cartesiuse koordinaatidele on polaarkoordinaatide kasutamine. Sel juhul määratakse tasandi punkti P koordinaadid polaarnurga \theta ja polaarraadiuse ( mõnikord ka polaarkauguse) r kaudu. Keskseks punktiks on siingi punkt O , mida nimetatakse pooluseks.
Eriti kasulik on polaarkoordinaate kasutada ringsümmeetria uurimiseks. Mida see kõik tähendab, sed hakkamegi nüüd järgnevalt vaatama.

Jätka lugemist

Wallace-Simsoni teoreem

Joonistage suvalise kolmnurga ümberringjoon. Valige sellel mingi punkt P ja projekteerige see punkt kõigile kolmnurga külgedele ( või külgede pikendustele).

Wallace – Simsoni teoreem – kolmnurga ABC ümberringjoone mistahes punktist P kolmnurga külgedele või nende pikendustele tõmmatud ristlõikude aluspunktid paiknevad ühel ning samal sirgel (nn. Simsoni sirgel).

Mida me peaksime tegelikult näitama hakkama. Üldiselt olen ma vähekogenud igasuguste “punkid asuvad ühel sirgel” näitamistega, aga meenub ükss definitsioon.

Kaht nurka nimetatakse tippnurkadeks, kui ühe nurga haarad on teise nurga haarade pikendused.

Definistioonist on tuletatud kohe omadus, et kahe sirge lõikumisel tekib üks paar teravnurkseid tippnurki ja üks paar nürinurkseid tippnurki. Või neli täisnurka. Sirge Lõik CA on kolmnurga külg ja läbib punkti V, seega CVA asuvad ühel sirgel. Kui näitame, et \angle WVA =\angle UVC , järeldub sealt kohe, et UVW peavad asuma ühel sirgel.

Tõestus: Kuna PW on risti BW-ga ja PU on risti BU-ga, siis tõmmates lõigu PB tekib kaks ühise hüpotenuusiga täisnurkset kolmnurka. Siit järeldub, et punkt P asub \triangle BWU ümberringjoonel.

Skitseerige õrn lõiguke PA ja otsige sama moodi sama hüptenuusiga täisnurkseid kolmnurkasid. \triangle PWA ja \triangle PVA oleksid seekord need ja P asub seetõttu \triangle AWV ümberringjoonel.

Samal põhjusel asub ta ka \triangle CUV ümberringjoonel.

Siit saame järeldada, et PUBW , PUCV ja PVWA on kõõlnelinurgad (cyclic quadrilaterals).

Kuna PUBW on kõõlnelinurk, saame, et

\angle UPW = 180^\circ - \angle UBW

millest järeldub

\angle UPW = 180^\circ - \angle CBA

Samuti on CPAB kõõlnelinurk ( algne konstruktsioon)

\angle CPA = 180^\circ - \angle CBA

Millest järeldub, et

\angle CPA = \angle UPW

Lahutades mõlemast poolest \angle CPW , saame et

\angle UPC =\angle WPA

Kuna PVWA on kõõlnelinurk, siis

\angle WPA = \angle WVA (toetuvad samale kaarele)

Kuna PUCV on kõõlnelinurk, siis

\angle UPC = \angle UVC,

Ehk kombineerides neid eelmiste tulemustega saame, et

\angle WVA =\angle UVC

\clubsuit

Selline nägi lõplik joonis välja

Viited

Abel, E, Abel, M., Kaasik, Ü. (2006) koolimatemaatika entsüklopeedia

http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfSimsonsLine.html

Meta

Simsoni sirge tõestus, Wallace Simsoni teoreem, kõõlnelinurk,

Horneri skeem

William George Horner (1786 – 22.09.1837). Tegu oli inglise matemaatiku ja koolmeistriga. Sündis Inglismaal Bristolis.  Elas tavalist tagasihoidlikku matemaatiku elu. Hariduse sai Kingswoodi koolis, mis Bristoli lähedal. 16. aastaselt sai temast juba õppejõu abi ja nelja aastaga tõusis ta juba ise õppejõuks (1806). Aastal 1809 lahkus ta sellest koolist, et rajada enda oma Grosvenor Places, Bathis. Seda pidas ta kuni surmani – 22. september 1837.

Horneri meetod ( kutsutakse ka vahel Horneri skeemiks või Horneri algoritmiks) on efektiivne tee polünoomide väärtuste leidmiseks mingil kohal. Lisaks võimaldab see viia keerulised kõrge astme polnünoomid mingite lineaarsete polünoomide korrutiseks. Koolis kasutatakse seda poünoomi järgu alandamiseks. Hakkame siis otsast peale vaatama, mida see kujutab ja kuidas kõik töötab.

0- astme polünoom: P(x)=a_{0} (konstantne polünoom)

1- astme polünoom: P(X)=a_{1}x+a_0 (lineaarne polünoom)

2-astme polünoom: P(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_0, toome x sulgude ette ja võime tegelikult lahti kirjutada P(X)=(a_{2}x+a_{1})x+a_0

3-astme polünoom: P(x)=a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}, seda saame hakata lammutama nüüd. Toome ka sulgude ette:

P(x)=(a_{3}x^2+a_{2}x+a_{1})x+a_{0} ja veelkord võtame sulgude ette: P(x)=(a_{3}x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}. Kirjutades kompaksemalt on siis polünoom P(x)=a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0} avaldatav kujul P(x)=((a_{3}x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.

Nagu näha jäid järgi ainult lineaarsed polünoomid

Põhimõtteliselt saab teha nii igasuguste astmetega polünoomidega. See on kõik teooria, aga kuidas seda praktikas rakendada.

Arvuta polünoomi P(x)=5x^4-7x^3+4x^2+3x+2 väärtus kohal x=3.

Lammutame ta kõigepealt laiali. hetkel on hea, et see x on ainult kolm, aga kui oleks see näiteks 12 või 24, siis nenid neljandasse astmesse tõsta on juba tegu. Ok,lammutus alaku P(x)=(((5x-7)x+4)x+3)x+2. Arvutus käiks siis nii: 5\cdot 3 +(-7)=8 järgmine sulg 8\cdot 3 +4)=28, siis järgmine sulg 28\cdot 3 +3)=87 ja viimane tehe 87\cdot 3 +2=263 Selle polünoomi väärtus kohal 3 on 263. Täitsa peast arvutatav. Graafiliselt ka :

Põhiline rakendus koolis on kuupvõrrandi lahendamisel. See lahendamine tähendab siis kuupvõrrandi nullkohtade leidmist.  Esmalt otsitakse välja üks nullkoht, seda tehakse siis vaadates kuupvõrrandi vabaliikme tegureid. Miks ja kuidas, vaadake postitust Viete valemitest. Kui see lahend leitud, siis alandatakse läbi Horneri skeemi kuupvõrrandi järku. Järgu alandamine toimub vastava polünoomiga läbijagamise teel. Võib olla kunagi hiljem hakkan seda asja keeruliseks ajama. Ütleme nii, et selle skeemi teoreetiline kasutamine polünoomide jagamisel ja siia blogisse kirjutamine pole eriti lihtne. Miks nii saab, järeldub Bezouti teoreemis. Horneri skeemi täpsem praktiline kasutamine on toodud ära järgnevates materjalides. Seal on ka kirjas, kuidas siis see järgu alandamine käib.

Pealkiri: Algebraliste võrrandite lahendamine, abistavad näpunäited
Alapealkiri: Horneri skeem, täisruuduks teisendamine
Autor:
Faili tüüp: pdf
Maht: 4lk

Fail sisaldab: Kuupvõrrandi järgu alandamine Horneri skeemi abil ja selle lahendamine, täisruudu eraldamine, neljanda astme võrrandi teisendamine täisruuduks, neljanda astme sümmeetrilise võrrandi lahendamine,

Viited:
http://www2.lv.psu.edu/ojj/courses/cmpsc-201/numerical/horners.html
http://knol.google.com/k/using-horner-to-evaluate-polynomial-functions#
————————————————–
Meta: kuupvõrrandi lahendamine, Horneri skeem, algebraline võrrand, kuupvõrrand, polünoom, polunoomi juur, polünoomi jagamine, Bezout, polunoomi väärtus, nullkoht, järgu alandamine,

Simsoni sirge

Tegelikult on nende jooniste tegemine hirmus tüütu. Kui keegi teeks need minu eest ära, oleksin hirmtänulik.  Kuid kuna hetkel abijõude võtta pole, pusisin selle joonise ise valmis. Ülesanne järgnev:

Kolmnurga ABC ümberringjoonel olev punkt P nihkub seal kaare PP_1 võrra. Näidake, et punktide P ja P_1 poolt määratud Simsoni sirged moodustavad nurga, mis vastab kaarele 0,5PP_1

Nagu näha, on joonis päris keeruline. Ega muud moodi aru saa, kui hakata otsast arutama. esitan selle tõestuse punkt haaval.

SELGITUSEKS: Need sirged, millest räägime on roheline ja oranž. saadud nii, et igale kolmnurga küljele on tehtud ristprojektsioon ja siis külje ja projektsiooni lõikepunktid ühendatud.  Nii tehtud mõlemast punktist P ja P_1. Põhimõtteliselt peame näitama, et \alpha  ja \delta on võrdsed. Panin joonisele kraadid juurde ja nagu näha nad on. vaja veel tõestada, et miks nad on.

  1. See \alpha ei teki sinna nii sama. Algset joonist on vaja natuke täiendada. Joonestada lõigud P_1C ja PC. Siis nurk P_1CP on \alpha. Nurk PCB on \beta ja \alpha + \beta = \gamma
  2. Järgmine võtmemoment on märgata, et punktid P_1FEC asuvad ühel ringjoonel. Miks? \triangle P_1FC on täisnurkne hüpotenuusiga P_1C ja \triangle P_1EC on täisnurkne hüpotenuusiga P_1C. Kes veel aru ei saanud, meenutage Thalese teoreemi. Joonis näitab hästi, et kui täisnurksel kolmnurkadel on ühine hüpotenuus, siis see tipp asub samal ringjoonel.
  3. See ringjoon andis meile juurde niipalju, et nurk P_1EF asub nurgaga \gamma samal kaarel ja on seeläbi võrdne. Tähistame siis uue nurga tähisega \gamma_1
  4. Järgnevalt kisub asi veel põnevamaks. Võtame mängu paralleelsed lõigud. DP \parallel EP_1 ja seda lõigatakse selle rohelise Simsoni sirgega. Kindlasti tekib mingeid võrdseid nurkasid. Ja tekibki: \gamma_1 = \epsilon (põiknurgad)
  5. Nüüd kasutame uuesti sama trikki, mis punktis 2. Läbi punktide PGDC saab joonestada ringjoone.  PC on hüpotenuus ja \triangle PGC ning \triangle PDC on täisnurksed. Kellele segaseks on jäänud, miks nad ikkagi on täisnurksed, siis tegu on ristprojektsioonidega.
  6. Nurk GDP on võrne nurgaga \beta. Tähistame selle \beta_1. Põhjuseks toetumine samale ringjoone kaarele.
  7. Grande finale Vaatame kolmnurka JKD. \epsilon on selle kolmnurga välisnurk. , seega \epsilon = \beta_1 + \delta ( kolmnurga välisnurga omadus, millest ma ka veel kirjutanud pole siin blogis. tegelt hea omadus ) ja \epsilon = \gamma_1 = \gamma = \alpha + \ beta, seega \beta_1 + \delta = \beta + \alpha. Kuna \beta_1=\beta, siis \alpha =\delta \clubsuit.

—————————————————————————

Meta:  Simsoni sirge, simsoni sirgete vaheline nurk, ringjoon läbi nelja punkti, ühiste hüpotenuusidega täisnurksed kolmnurgad

Kuidas leiavad arvutid siinusfunktsiooni väärtusi?

Mis täpselt juhtub siis, kui ma tipin oma taskuarvutisse sisse siinusfunktsiooni (või koosinuse või tangensi ) koos nurgaga? Ma tipin selle sisse ja arvuti annab mulle imelisel moel arvu, mis pole esialgse nurgaga kuidagi seoses. Kas arvuti võtab selles kuskilt nimekirjast, mille mingid inimesed on nii täpselt ära mõõtnud või on olemas matemaatiline funktsioon selle arvutamiseks?

Kalkulaatur või kompuuter ei loe tegelikult mingisugust nimekirja kuid nad tõesti kasutavad algoritmi mis annab siinuse ja antud nurga ligikaudse väärtuse. Neid algoritme on tegelikult mitmeid. Mitmeid kordi kasutatakse ainult nelja baasoperatsiooni (+, -, x, /) , et leida siinus või koosinus või tangens antud nurgast.

Üks võimalus on kasutada Taylori rida

Mis on Taylori rida?

Olgu meil anftud funktsioon f(x). Funktsiooni f(x) jaoks on Taylori rida järgnev:

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^2+\frac{f'''(x)}{3!}h^3+\ldots=\sum_{i=1}^{\infty}f^{i}(x)\frac{h^i}{i!}

Mida rohkem liikmeid võtame, seda täpsema tulemuse saame. i märgib siis siinkohal tuletise arvu. Tegelikult tehakse asja veel lihtsamaks. Arvutid kasutavad Taylori rea erivarianti – Maclaurini rida. Mis see on ? nagu öeldud, on see Taylori rea erijuht. Siin võetakse lihtsalt x=0 . Näiteks funktsiooni \sin(x) arendus Maclaurini reaks näeb välja järgnev.

\sin(x)= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots

Võtame siis kokku ka, mis moodi asi käib.

  1. Õpilane sisestab arvutisse sin 35°
  2. Arvuti teeb selle ümber radiaanideks ja saab 35/180 = 0.194(4)
  3. See väärtus x=0.194(4) asendatakse arvutisse programmeeritud Maclaurini ritta
  4. Arvuti teeb vastav tehte ja annab vastuseks 0.57357..

Keda huvitab rohkem antud asi, võib uurida allolevaid materjale. Seal on ilusti ära toodud, mis moodi toimub täpselt selle siinusfunktsiooni tuletamine ja ka erinevaid näiteid Taylori valemi paremaks mõistmiseks.

Pealkiri: Taylori teoreemi taaskülastus
Alapealkiri:
Autor: Autar Kaw
Faili tüüp: pdf
Maht: 8 lk

———————–

Meta: Taylori rida, Maclaurini rida, näiteid Taylori reast, Maclaurini rea arendamine, vea arvutamine, numbrilised meetodid

Kasutatud materjalid:

http://www.homeschoolmath.net/teaching/sine_calculator.php

Polünoomide lahendamine – kolmanda astme polünoomid

Järjekordselt peame siinkohal tagasi pöörduma Babüloni. kellel pole hetkel aimdust, kus see asuda võis, siis Babülon hõlmas endast praegust Iraaki, Iisraeli ja osa türgist ning Egiptusest. Eufrat ja Tigris jäid samuti sisse.

Babülonist leitud savitahvlitelt on näha, et seal on tegeletud juba arvu kuupidega. Neid võidi kasutada kolmanda astme võrrandite lahendamiseks ja arvatavasti ka seda tehti.

Probleemiga tegeleti nii Antiik – Kreekas, kui araabiamaades, kuid lahendused jäid siiski kaugele. Teravamalt tõstatas probleemi üles Luca Pacioli (1445 – 1517). Ta oli kuulus oma õpetuste poolest üle kogu Itaalia. Nagu iga sajand, oli temagi mures hariduse allakäigu üle ja süüdistas selles heade materjalide puudumist. Pacioli kogus 20 aastat materjale ja 1494 avaldas ta 600lk “Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita”. Summa raamatus väitis Pacioli, et kuupvõrrandile on üldiselt võimatu lahendust leida.  see julge väide aktiviseeris mitmeid matemaatikuid ja sai üheks 16 sajandi otsitavamaks probleemiks.

Girolamo Cardano (1501-1576)

Cardano oli väga värvikas kuju. Ta tegeles astroloogiaga, olles samas väga usin filosoofia õpilane. ta oli õnnemängur, kuid samas väga hea algebraist. 16 sajandi akadeemiline elu erines suuresti tänapäevasest. Seda dikteerisid rikkurid, kes toetasid hea reputatsiooniga akadeemikuid. reputatsiooni omandamiseks pidid sa osalema avalikel debattidel. Matemaatikute jaoks tähendas see, et mõlemale grupile anti teatud hulk ülesandeid, mille nad pidid siis mingi aja jooksul ära lahendama. kes jõudis kõige rohkem, kuulutati kohtuniku poolt võitjaks. Peale maine ja tuntuse kaasnesid ka auhinnarahad. Sellest tingitult oli iga indiviidi jaoks hädavajalik oma meetodite saladuses hoidmine.

Kuupvõrrandi lahendamine

Pealkiri: Algebralised võrrandid
Alapealkiri: Kuupvõrrand, binoom – ja trinoomvõrrand, pöördvõrrand
Autor:
Faili tüüp: pdf
Maht: 6lk

——————————————-
meta: algebraline võrrand, lineaarvõrrand, ruutvõrrand, Tartaglia, Cardano, Ferrari, polünoomide algebra põhiteoreem, ühe tundmatuga n-astme algebraline võrrand, kuupvõrrand, binoomvõrrand, trinoomvõrrand, pöördvõrrand, algebraliste võrrandite lahendamine, Cardano valemid, diskriminant, biruutvõrrand,