Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem

8. klassil hakkab täna uus osa – kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem. Lugesin õhtul läbi õpiku eesmärgid ja need tundusid ikka väga abstraktsed. Mõtlesin, kuidas selle teema eesmärke piltlikumalt avada. Õnneks kasutatakse erinevates valdkondades kahe tundmatuga lineaarvõrrandeid päris palju.  Mis mulle koitis esimesena, on taksode tariifid. Internetis on olemas mõnus lehekülg http://www.taksod.net/, mis pakub väga head matemaatilist informatsiooni.

Nädalavahetusel on tulemas skateboardi ja BMX festival Simpel session 11 (100% füüsika ja matemaatika rakendusi ja sadu noori, kes seda kõike katsetavad 🙂 )või lähete lihtsalt kuhugi peole ja jääte hiljapeale. Ohutu kojusaamise mõttes otsustate tellida endale takso. Tartlasena olete harjunud, et sõidu alustus on 1,6 € ja kilomeetri hind on 0,77€. Tallinnas on kahjuks või õnneks üle kümne erineva taksofirma. Valisin ise välja näiteks Amigo takso, kelle hinnakiri võrreldes Tartu omaga on näha järgnevas tabelis.

Sõidu alustamine (EUR) Kilomeetri hind (EUR)
A-Takso (Tartu) 1,6 0,77
Amigo takso (Tallinn) 1,92 0,38

Kohe tekib küsimus, kas Tartus või Tallinnas on takso odavam? Mitu km peab sõitma, et mõlemaga läheks sama palju raha? Millal läheb A Taksoga sõit kallimaks, kui Amigo taksoga.

Tähistame taksosõidu maksumuse tähega p (“price” -hind ingl. k) ja tee pikkuse tähega d (“distance” – vahemaa ingl.k).

A-takso puhul Tartus oleks hinna ja teepikkuse vaheline seos

p= 1,6+0,77d

Amigo takso puhul Tallinnas oleks hinna ja teepikkuse vaheline seos

p= 1,92+0,38d

Jätka lugemist

Kolmnurga mediaanid

DEF: Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks.

Teoreem kolmnurga mediaanist
Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast.

TÕESTUS

Lõikugu kolmnurgas ABC mediaanid BE ja CF punktis G. Joonestame välja lõigu AG ning pikendame seda nii palju, et ta lõikaks külge BC punktis D. Teoreemi tõestamiseks peame näitama, et

  1. AD on mediaan, st. BD = DC ja
  2. AG=2GD (BG=2GE ja CG=2GF)

Esimese tõestuse võtmemomendina on meil vaja pikendada lõiku AD punktini K nii palju, et AD = GK ning ühendame tipu K kolmnurga tippude B ja C-ga. Teine võtmemoment seisneb näitamises, et BKCG on rööpkülik.

Tõestame ära väite esimese osa, st. näitame, et AD on mediaan.
Vastavalt eeldusele on punkt F  lõigu AB keskpunkt ja konstruktsiooni põhjal on punkt G lõigu AK keskpunkt. Sellest järeldub, et lõik FG on \triangle ABK kesklõik. Vastavalt teoreemile kolmnurga kesklõigust on FG \parallel BK \Rightarrow GC \parallel BK. Kolmnurga AKC puhul saame läbi viia samasuguse arutelu, mille tulemusena järeldub, et BG \parallel KC . Järelikult on nelinurk BKCG rööpkülik.

Lõigud BC ja GK on rööpküliku BKCG diagonaalideks. Rööpküliku diagonaalid aga poolitavad teineteist. Järelikult on BD = DC, millega on esimene punkt näidatud ja tõestatud, et AD on mediaan.

Teise osa tõestuseks kasutame juba rööpküliku omadusi.  GD = DK, sest ta on rööpküliku diagonaal. Sellest järeldub, et GD = \frac{1}{2}GK. Kuna AG = GK , siis GD = \frac{1}{2} AG \Rightarrow AG=2GD \clubsuit

Sarnaselt on võimalik näidata kõikide juppide kohta seda.

Kasutatud kirjandus :

Nurk, E., Telgmaa, A., Undusk, A. (2000). Matemaatika 8. klassile. Tallinn: Koolibri.

Tutorvista: Theorem of medians of a triangle

META: Teoreem kolmnurkade mediaanist, mediaan, kesklõik, paralleelne, keskpunkt, tõestus, 8. klass, tõestamine, külje poolitaja

Teoreem kolmnurga kesklõigust

Järgnevalt siis üks Vanast-Kreekast pärit tõestus, mis seob kolmnurga kesklõiku kolmnurga külgedega.

Joonestame vabalt kolmnurga ABC ja lõigu, mis ühendab selle kolmnurga külje kahte keskpunkti.

DEF: Lõiku, mis ühendab kolmnurga kahe külje keskpunkte, nimetatakse kolmnurga kesklõiguks.

TEOREEM: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.

EELDUS: DE on kolmnurga kesklõik ( millest saame, et AD = DC ja CE = EB)

VÄIDE: 1) DE \parallel AB 2) DE = \frac {1}{2}AB

Tõestuse esimene võtmemoment seisneb joonise õiges täiendamises. Täiendame joonist, pikendades DE iseenda pikkuse võrra ja tähistame otspunkti tähega F. Nii saame, et DF =2DE. Ühendame otspunkti F tipuga B

Teiseks võtmemomendik on näidata, et  nelinurk ABFD on rööpkülik. Siis saaksime väita, et DE \parallel AB ja isegi tuleks välja, et DE = \frac {1}{2}AB. Selleks anname esmalt rööpküliku definitsiooni

Nelinurka, millel on üks paar paralleelseid ning võrdseid vastaskülgi, nimetatakse rööpkülikuks.

Järelikult piisab näidata, et nelinurgal ABFD on üks paar paralleelseid ja võrseid külgi. Proovimegi seda näidata.

  1. DE = EF ( konstruktsiooni põhjal), CE =EB ( kesklõigu definitsioonist) \angle DEC = \angle FEB ja nendest kolmest seosest järeldub vastavalt kongruentsustunnusele KNK, et \triangle DCE \cong \triangle BEF
  2. BF = DC ( kui kongruentsete e. võrdsete \triangle DCE ja \triangle BEF vastavad küljed ).
  3. Lisaks on \angle FBE = \angle DCE, kui nende samade võrdsete kolmnurkade vastavad nurgad.
  4. BF = DC ja DC = AD \Rightarrow BF =AD. Oleme saanud, et sellel nelinurgal on üks paar võrdseid külgi. Et see oleks rööpkülik, peame näitama veel, et need on paralleelsed

Kaks sirget on paralleelsed parajasti siis, kui nende lõikumisel kolmanda sirgega tekivad võrdsed põiknurgad

5. Kuna \angle FBE = \angle DCE ja need on põiknurgad, kui läbi lõigu AC ja BC panna sirge ning lõigata seda sirgega CB, siis on BF \parallel AC \Rightarrow BF \parallel AD.  Järelikult lisaks võrdsusele on need küljed ka paralleelsed. Seega on meil olemas üks paar paralleelseid ja võrdseid külgi ning võime väita, et nelinurk ABFD on rööpkülik.

6. Kuna ABFD on rööpkülik, siis on DF \parallel AB \Rightarrow DE \parallel AB, millega on väite esimene osa tõestatud.

7. Nüüd veel teine osa: DF = \frac{1}{2}DE vastavalt konstruktsioonile ja DF = AB (rööpkülik). Järelikult on siis AB =\frac{1}{2}DE, millega on teine väide samuti tõestatud ja sellega kogu teoreem . \clubsuit

Lisan siia veel ühe inglisekeelse video sama tõestuse kohta.

Lisaks veel selgitus:  The Midline Theorem

Kasutatud kirjandus: Nurk, E., Telgmaa, A., Undusk, A. (2000). Matemaatika 8. klassile. Tallinn: Koolibri.

META: Kolmnurga kesklõik, teoreem kolmnurga kesklõigust, kesklõigu pikkus, 8. klass, tõestus, tõestamine, kongruentsus, kolmnurkade võrdsus.