Koostöö ülesanne

Kaks traktorit koos kündsid 15 tunniga ühe kuuendiku põllust. Kui esimene traktor töötaks üksi veel 12 tundi ja teine üksi  20 tundi, saaks küntud veel 20% põllust. Mitme tunniga künnaks kumbki traktor üksi kogu põllu?

Olgu 1. Traktori tööks kuluv aeg x tundi ja 2. Traktori tööks kuluv aeg y tundi.

Esimesel juhul töötatakse 15 tundi ja selle aja jooksul küntakse põldu  \frac{15}{x} + \frac{15}{y}=\frac{1}{6}

Teisel juhul töötab 1. traktor 12 tundi ja 2. Traktor 20 tundi. Kokku künnavad nad 20% ehk \frac{1}{5} põllust.

\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5}

Süsteem:

\begin{cases}\frac{15}{x}+\frac{15}{y}=\frac {1}{6}\\\frac{12}{x}+\frac{20}{y}=\frac {1}{5}\end{cases}

avaldan sellest x-i

\Leftrightarrow \frac{90y+90x-xy}{6xy} = 0 \Leftrightarrow 90y + 90x-xy=0\Leftrightarrow xy=90y+90x /:x \Leftrightarrow y=\frac{90y}{x}+90 \Leftrightarrow y-90=\frac{90y}{x} \Leftrightarrow x(y-90)=90y \Leftrightarrow x=\frac{90y}{(y-90)}

Asendan x-i teises võrrandis.

\frac{12}{\frac{90y}{(y-90)}}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{12y-1080}{90y}+\frac{20}{y}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{60y^2-5400y+9000y-90y^2}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{-30y^2+3600y}{450y^2}=0 \Leftrightarrow \frac{y+120}{15}=0 \Leftrightarrow y=120 ; x=\frac{90 \cdot 120}{120-90}=\frac{10800}{30}=360

Süsteemi lahendid:

x=360 ja  y=120

Kontroll:

Kui 1. Traktoril kuluks üksinda aega 360 tundi ja 2. Traktoril kuluks aega 120 tundi, siis koos töötades said nad küntud: \frac{15}{360} + \frac{15}{120}=\frac{1}{6} , mis vastab ülesande tingimustele.

Teisel juhul kündsid nad: {12}{360} + {20}{120}=\frac{1}{5} , mis vastab ülesande tingimustele.

Vastus: Esimesel traktoril kulus aega üksinda kündmiseks 120 tundi ja teisel traktoril 360 tundi.

Kasutatud kirjandus:

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10.klassile. Tallinn: AS Koolibri

META: võrrand, süsteem, võrrandisüsteem, kaks lahendit, koostöö ülesanne, võrrandisüsteemi koostamine

ISBN koodist

Eile oli selline huvitav kuupäev nagu 11.11.11. Hiljuti on meil olnud väga palju kuupäevi, mis on esitatavad kahendsüsteemis, kuid antud kuupäev on viimane kahendsüsteemi kuupäev kuni järgmise sajandini. Järgmine on 01.01.00 ehk 1. jaanuar 2100. Rääkides arvust 11, siis sellel on üks huvitav kasutusala, millest ma varem ei olnud kuulnud. Kui me ostame tänapäeval raamatu, võime sealt tagant leida triipkoodi ja siis selle kohalt tähtede ja numbrite kombinatsiooni ISBN. See on rahvusvaheline raamatustandardinumber (International Standard Book Number), mille pikkus on 10-13 kohta. meid huvitavad rohkem need10-kohalised arvud. Koodi sisu on lihtne. esimene number näitab riiki, kus raamat avaldatid, siis tuleb kirjastuse kood ja siis raamatu kood. Sarnane tõlgendus isikukoodiga, ehk tegu on raamatu isikukoodiga. Viimast arvu ISBN-is nimetatakse kontrollnumbriks.

Loe edasi!

Archimedese palimpsest

Vana-Kreeka matemaatiku Archimedese ümber on aegade jooksul tekkinud väga palju kohati muinasjutulist kõmu. Tema muutis üldkasutatavaks sõna “eureka”, tema kasutas peegleid roomlaste laevade süütamiseks ja Rooma sõdurid tapsid ta aastal 212 eKr rannas, kui Archimedes joonistas liivale diagramme. Vähe sellest, et need jutud ei vasta päris tõele, takistavad nad Archimedese saavutuste täielikku mõistmist, mis on inspireerinud Leonardo da Vincit, Galileod ja Isaac Newtonit. Mõningad on pidanud teda matemaatilise analüüsi esimeste ideede autoriks.

Loe edasi!

Arnauldi paradoks

Tutvusin just negatiivsete arvude ajalooga. Võib olla pole paljud teist kuulnud, kuid negatiivseid arve hakati aktsepteerima alles 19. sajandil ja iroonilisel moel tänu sellele, et matemaatika muutus üha abstraktsemaks. Mind ennast jäi kõige rohkem häirima loetud Arnauldi paradoks, mille püstitas prantsuse matemaatik Antoine Arnauld (1612-1694). Ta väitis nimelt

Kui -1<1, siis suhe (-1):1 = 1:(-1), mis väidab, et väiksema arvu suhe suuremasse on sama, mis suurema arvu suhe väiksemasse, on absurd.

Oleksin huvitatud erinevatest arvamustest, mis siin valesti on, kui üldse on?

 

Platoni ristjalg

Üks kolmest vanaaja lahendamata probleemist on kuubi duplikatsiooni e. Delose ülesanne. Selle aluseks on Vana-Kreeka legend, mis jutustab järgmist.

Delose saarel võimutsenud kunagi must surm – katk. Hirmunud saarlased tulid saare kaitsejumala Apolloni templisse, et preestrite suu läbi küsida, kuidas jumalalt armu saada ja inimesed nakkusest ning surmast päästa. Apollon nõudis, et suurendataks templi kuubikujulist ohvrialtarit täpselt kaks korda. Inimesed panid templisse teise täpselt niisama suure kuubikujulise altari, kuid must surm jätkas laastamistööd. Selgus, et Apollon oli nõudnud muud: altarit oli vaja küll kaks korda suurendada, kuid nii, et tema geomeetriline kuju jääks muutumatuks.

See ülesanne on küll sirkli ja joonlaua abil lahendamatu, kuid ometi leidub näiteid, kuidas probleemi püüti lahendada teiste meetoditega. Platon olevat kasutanud kõrvaloleval joonisel kujutatud ristjalga. Ristjalg tuleb konstrueerida selliselt, et üks õlg läbib ristjala tippu C, teine tippu B. Siis lõik OB = x, oleks uue kuubi külg ja EO templis olnud kuubi külg. Saadud küljega kuubi ruumala oleks kaks korda suurem antud esialgse kuubi ruumalast a^3. Tõepoolest, täisnurksetest kolmnurkadest EBC ja BCF järeldub, et

x^2=ay (teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest)

ning samal põhjusel

y^2=2ax

Esimesest võrdusest saame, et y=\frac{x^2}{a}. Asendades selle y väärtuse teise võrdusesse, saame \frac{x^4}{a^2}=2ax ehk x^3=2a^3.

Teoorias on kõik ilus, aga kuidas ristjalg ikkagi töötab. Otsisin netist mõnda head joonist, aga jäigi see leidmata. Kasutan siis oma konstruktsiooni.

Ristjalg koosnes ühest statsionaarsest osast, mis oli sarnane tööõpetuses kasutatava “nurgikuga” (vähemalt me kutsusime nii seda puust täisnurga mõõtmiseks kasutatavat riistapuud) ja teisest liikuvast osast, mis fotol on hallilt tähistatud. Millised andmed kreeklastel olemas olid? Oli olemas antud kuubi külg a ja siis selle külje kahekordne 2a. Teljed võisid nad joonestada risti selle sama ristjalaga. Rohkem polnud neil kuskilt andmeid võtta. Kui me teooriat vaatame, siis on lahendus lõigu pikkus tipust B kuni telgede ristumiskohani. Samas üks õlg peaks läbima tippu C. Nagu jooniselt näha, panin ma alguses suvaliselt ristjala peale ja kuigi tipp B asub vajalikul teljel, ei läbi üks õlgadest sugugi tippu C.  Nii hakkasidki kreeklased siis ristjala abil asju rihtima ja õigeks ajama.

Esmalt nihutati statsionaarset osa teljestikus üles/alla, siis nihutati jälle vähehaaval liikuvat osa, kuni lõpuks saadi olukord nagu on näidatud kõrval oleval joonisel joonisel. Ristjala õlad läbivad ristjala tippe ja lõikude a ning 2a täpselt ristjala sisemisi servasid. Nüüd lõik, mis jääb tipust B kuni ristumiskohani on otsitava kuubi külg (esimesel joonisel x) . Lõik tipust C kuni ristumiskohani on esimesel joonisel tähistatud tähega y. Sättimisega võib näha küll natuke vaeva ja võib olla ei ole tulemus matemaatiliselt kuigi täpne, kuid praktikas vajaliku täpsuse saamiseks on antud meetod täiesti sobilik. Muidugi ei ole tegu ainsa võimaliku meetodiga.

Kasutatud materjalid:
Kariste, K. Ajalugu matemaatilises hariduses: magistritöö. Tartu Ülikool, Tartu 2011

META: Platon, Delian problem, Delose ülesanne, kuubi duplikatsioon, sirkli ja joonlauaga lahendamatu probleem, kolm vanaaja lahendamatut ülesannet, kuubi ruumala kahekordistamine, Platoni ristjalg, Apollon

5R-5L-5P oktoober ei olegi nii haruldane !

Ma isiklikult ei pannudki seda alguses tähele, kui üks sõber saatis mulle postkasti kirja: “Sel oktoobril on 5 reedet, 5 laupäeva ja 5 pühapäeva ning se juhtub kord 823 aasta järel”.  Kui kaine mõistusega mõelda, siis tegelikult on see ebaloogiline.

Mõtleme seda nii. Aasta saab alata ühega seitsmest päevast, seega on tegelikult olemas 7 baasaastat. Lisame liigaasta, ja saame kokku 14 võimalikku baasaastat. Ja üks neist kalendritest leiab kasutamist iga  823 aasta tagant? kas see on võimalik? Loomulikult mitte, kõik 14 kalendit leiavad regulaarset kasutamist, näiteks 2010 kasutab täpselt samasugust kalendrit kui  1999.

Järgnevalt on toodud ära 2010 aasta oktoobri kalenderJa siin on kalendrid oktoober 1982, oktoober 1993, oktoober 1999 ja oktoober 2021. Kas märkate mustrit?

Jätka lugemist

Poissoni ülesanne

Olenemata kogemustest peab iga kord päris tükk aega sellele ülesandele mõtlema. Nüüd panen üles, et ta enam kaotsi ei läheks

Üks veinisõber ostis 8-liitrise pudeli veini. See vein oli vaja pooleks jagada. Kuidas sai seda teha, kui tal leidus vaid kaks nõud: 5 – ja 3- liitrine. Mitu korda oli vaja veini nõust nõusse valada.

On kindlasti teisi lahendusi, aga alljärgnev on üks nendest.

Diophantose mõistatus

Diophantos oli üks oma aja suurimaid matemaatikuid, kuid tema enda elust on vähe teada. Kõige tuntumaks on ta saanud tänu oma diofantilistele võrranditele. Siiski ei olnud ta ainult tuntud oma tulemuste pärast arvuteooria ja algebra vallas. Ta kohendas palju kreeka matemaatiliste sümbolite struktuuri.

Samuti meeldis talle mõelda välja riimuvaid mõistatusi, millest ühe esitan hetkel siin. See on tükitud ära tema hauakivil.

Here lies Diophantus, the wonder behold
Through art algebraic, the stone tells how old

God gave him his boyhood one-sixth of his life,
One-twelfth more as youth while whiskers grew rife
And then yet one-seventh ere marriage begun;
In five years there came a bouncing new son.
Alas, this dear child of master and sage,
Attained only half of his father’s age.
When chill fate took him. An event full of tears –
Heartbroken, his father lived just four more years.

Teekäija! Siia on maetud Diofantese põrm. Ning arvud võivad jutustada, kui pikk oli tema eluiga. Kuuendik sellest kujutas ilusat lapsepõlve. Möödus kaheteistkümnendik tema elust ja tema lõug kattus udemetega. Veel seitsmendik ja algas tema abielu. Möödus viis aastat; teda õnnistati esimese poja sünniga kellele saatus andis elu, ilusa ja helge, mis oli poole lühem kui ta isal. Ja sügavas mures lõppes vanakese maine saatus. ta elas veel neli aastat pärast poja kaotamist. Ütle, kui vana oli Diofantes, kui ta suri.

60min – hea ühemuutuja võrrand.

Vastus on kommentaarides.

META:  Diophantos, Diofantes, mõistatus, värssmõistatus, luuletus, põhikooli ülesanne, ühemuutujaga võrrand.

Ootamatu poomise paradoks

Mõrvar tunnistatakse kohtus süüdi. Kohtunik otsustab, et surm on tema jaoks liiga hea; ta tahab, et mõrvar kannataks veel enne surma. Kohtunik sõnastab oma otsuse nõnda:” Sulle on mõistetud surmanuhtlus ja see viiakse täide poomise läbi. Kuid enne seda sa kannatad piinu ja ängistust, teades, et see ei juhtu täna vaid ühel hommikul järgmisel nädalal.”

Mõrvar lahkub kohtusaalist kerge südamega, teades, et tänu sellele lausele ei saada teda kunagi üles puua..

Põhjendus on järgnev:

Oletame, et seitsmendal hommikul olen ma elus. Nüüd ma tean, et see on päev, mil ma pean surema, kuid kohtunik ütles, et ma ei tea päeva, mil ma suren. Seetõttu ei saa nad mind puua seitsmendal päeval. Kuues päev on viimane, millal nad võivad seda teha. Kuid sellisel juhul, kui ma olen elus kuuendal hommikul, tean ma ju, et mind puuakse kuuendal päeval. Kohtunik ütles, et ma ei tea päeva, millal mind puuakse. Sellepärast ei ole tegu kuuenda päevaga.

Ta jätkas samade põhjemduste lisamist viiendale päevale, neljandale päevale jne, jõudes järeldusele, et teda ei saa puua ühelgi päeval vastavalt kohtuniku instrukstsioonidele. seega teda ei poodagi üles.

Oma üllatuseks tuldi talle kolmanda päeva hommikul järgi ja mees poodi üles.

http://www.logicalparadoxes.info/unexpected-hanging/

META: paradoks, ootamatu poomine,

Soritese paradoks

para.doks <20: -doksi, -.doksi> näilikult mõistusvastane väide v nähtus.

Kindlasti on kõik juba sel aastal randa jõudnud ja mõnusal liival lesinud. Sellega seoses ka üks kuulus paradoks, mida kutsutakse kreeka keeles “soritese paradoksiks”. Nimi tuleneb kreeka keelsest sõnast soros, mis tähendab kuhja. Paradoks on järgnev:

Üksik liivatera ei ole kuhi, see on ilmne. Kaks tera ei ole samuti kuhi. Kuhja jaoks on vaja natuke rohkem kui ainult paar asja.

Kuhja käsitlus on keeruline, sest ei ole olemas mingit kindlat numbrit, mis määraks kuhja. me ei saa öelda, et 38 liivatera on kuhi ja 37 enam ei ole. See tingiski soritese paradoksi tekke.

Oletame, et meil on miljon liivatera. See on ilmtingimata kuhi, keegi ei kahtle selles. Kuna ei ole olemas täpset numbrit, mis eraldaks kuhjad mittekuhjadest, ei muuda ka ühe liivatera eraldamine miljonist teda “mittekuhjaks”. Kui sul on liivakuhi ja sa võtad ühe ära, on ikka kuhi alles.

Kui meil on kuhi, mis koosneb miljonist liivaterast ja me võtame ühe tera ära, korrates seda 999 999 korda, siis mida me kogu protsessi lõpuks saame? Kuhja või mittekuhja?

Võttes ühe liivatera ära, ei muutnud see kuhja mittekuhjaks. Meil oli protsessi alguses kuhi olemas. seega peab protsessi lõpuks ka järgi jääma kuhi.

Siiski jääb lõpuks järgi ainult üks liivatera ja nagu alguses oletasime, ei ole ainus liivatera kohe kindlasti kuhi.

Jutu järelduseks peab üksik tera olema nii kuhi kui mittekuhi korraga.

Selle sama paradoksi saab konstrueerida vanadusega, pikkusega, sinisusega, rikkusega.

On pakutud muidugi lahendus, et panna peale kindel arv. Näiteks 10 000 tera on kuhi ja kõik mis jääb allapoole, ei ole. samas on selle vastuväiteks liiga väike erinevus 9999 tera ja 10 000 tera vahel.

Minu arvates on sama paradox ka koolis hindamisega. Hinne viis on ju siis, kui väärtuseks oleks 5,0. samas kui õpilane on saanud hinded 5,5,4 ja keskmiseks ei tule enam 5,0 pannakse ikka 5. Kas 4,99 on vii jakui on siis kas 4,98 ka on ? Ning millal algab see piir kui viite enam mitte kirjutada?

http://www.logicalparadoxes.info/heap/

http://en.wikipedia.org/wiki/Sorites_paradox

META: kuhi, liivakuhi, rikas, vaene, paradoks, hindamise paradoks, soritese paradoks,