Hulkadega seotud mänge

Hulgateooriat ja arvuhulki õppides tahaks vahepeal seda teooriat kuskil rakendada. Selleks on võimalus ühes populaarses mängus nimega SET

Mängu reeglid on lihtsad. Pead moodustama hulki, kus kõikide liikmete omadused on samasugused või täiesti erinevad. Näiteks võivad olla kõik liikmed lillat värvi, seest täidetud ja erineva kuju ning erineva arvu kujunditega. Hulgaks ei sobi kolmikud, kus kaks liiget on ühe omadusega, aga kolmas mitte. Näiteks ei moodusta hulka kõik rohelised, kõik kolmesed, kuid kaks täidetud ja üks tühi kujundite kombinatsioon.

Head mängimist.

META: Hulgateooria, hulkadega seotud mängud, The Set Game

Arvusüsteemid. Kahendsüsteem

Loodus on andnud inimesele viis sõrme ühel käel, kümme kahel käel kokku ja kakskümmend kokku koos mõlema jala varvastega. Kasutades seda looduse andi, arvutas inimene viie, kümne või siis kahekümne kaupa. Ainult kord ajaloos on inimene sellest reeglist taganenud: vanas Babüloonias arvutati kuuekümne kaupa.

Õppinud arvutama, pidi inimene õppima arve ka mingite märkidega üles kirjutama. Seal, kus arvutamise aluseks oli kümme, pidi inimene leidma kümme arvumärki, mida hiljem hakati nimetama numbriteks; seal, kus alusarvuks oli võetud arv viis – viis märki, aga seal, kus alusarvuks oli võetud kuuskümmend, tuli leida teine lahendus, kuid sellest me siin praegu rääkima ei hakka.

Pärast pikaajalist võitlust mitme koolkonna vahel võitis kogu tsiviliseeritud maailmas kümnendsüsteem ja võeti kasutusele Indias leiutatud numbrimärgid, mille laenasid araablased ning mis seejärel juba Araabiamaade kaudu XIII sajandi matemaatiku ja kaupmehe Leonardo Fibonacci vahendusel Euroopasse jõudsid. Meile on need märgid hästi teada: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Need märgid ja positsioonisüsteem, mis tähendab seda, et igal numbril on oma kindel tähendus mitte ainult sõltuvalt graafilisest kujust, vaid ka kohast (positsioonist), millel ta asub teiste numbrite suhtes, rahuldas täielikult  tavalisi inimesi ja õpetlasi kuni selle ajani, mil ilmusid arvutid.

Loe edasi

Arnauldi paradoks

Tutvusin just negatiivsete arvude ajalooga. Võib olla pole paljud teist kuulnud, kuid negatiivseid arve hakati aktsepteerima alles 19. sajandil ja iroonilisel moel tänu sellele, et matemaatika muutus üha abstraktsemaks. Mind ennast jäi kõige rohkem häirima loetud Arnauldi paradoks, mille püstitas prantsuse matemaatik Antoine Arnauld (1612-1694). Ta väitis nimelt

Kui -1<1, siis suhe (-1):1 = 1:(-1), mis väidab, et väiksema arvu suhe suuremasse on sama, mis suurema arvu suhe väiksemasse, on absurd.

Oleksin huvitatud erinevatest arvamustest, mis siin valesti on, kui üldse on?

 

Kanepilehe joon

Olen tahtnud seda postitust juba ammu teha, aga ei ole aega leidnud. Nimelt käisin siin paar kuud tagasi Nõo Reaalgümnaasiumis väikest arvutipraktikumi andmas ja tegelesime polaarkoordinaatidega. Seal postituses on ka kirjas, kuidas GeoGebras ise endale polaarkoordinaadistik teha ja siis kuidas panna GeoGebra joonestama polaarkoordinaatides antud jooni. Otsustasime lõpuks teha Geogebrale ultimate-testi e. õpilased leidsid netist ühe vinge polaarkoordinaatides antud joone.

Tegu on siis kanepilehte meenutava joonega, mille võrrand polaarkoordinaatides on:

r(\theta)=a[1+\frac{9}{10}cos(8\theta)][1+\frac{1}{10}cos(24\theta)][\frac{9}{10}+\frac{1}{10}cos(200\theta)](1+sin(\theta))

Selline võrrand hirmutas muidugi paljud alguses ära ja alguses käiski nöökimine, et no tee sellise võrrandiga joon ära. Lõpuks ütlesin neile, et heaküll, teeme siis. Milles küsimus :).

Loe edasi

Siinusteoreem

Iga kolmnurga võime kõrguse abil tükeldada kaheks täisnurkseks kolmnurgaks ning arvutada viimastest antud kolmnurga puuduvad põhielemendid. Kolmnurga otsene lahendamine (puuduvate põhielementide leidmine antud põhielementide kaudu) on siiski lihtsam. Selleks vajame lisaks seniõpitule veel mõningaid kolmnurga elementide vahelisi seoseid. Sageli kasutatavaks seoseks on nn. siinusteoreem:

TEOREEM  (Siinusteoreem) Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurga siinustega.

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}

TÕESTUS: Olgu antud kolmnurk ABC külgedega a, b, c ja nende vastasnurgad α, β, γ. Peame näitama nüüd, et \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}.

Selleks kirjutame kolmnurga ABC pindala välja kolm korda, iga kord erineva külje kaudu. Tulemused on muidugi võrdsed.

\frac{1}{2}ab\sin\gamma=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{1}{2}bc\sin\alpha

Korrutame saadud võrdusi 2-ga ning seejärel jagame korrutisega abc:

\frac{ab\sin\gamma}{abc}=\frac{ac\sin\beta}{abc}=\frac{bc\sin\alpha}{abc}.

Taandades igas murrus vastavad elemendid järeldub siit

\frac{\sin\gamma}{c}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}, ehk \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\clubsuit

Võrde kolme antud liikme järgi saame arvutada neljanda. Järelikult võimaldab siinusteoreem [1]

1)      arvutada kolmnurga külge, kui on teada kaks nurka ja ühe antud nurga vastaskülg;

2)      arvutada kolmnurga nurka, kui on teada kaks külge ja ühe antud külje vastasnurk

Kasutatud materjalid

Eteverk, E., Teeäär, A., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Tallinn: Valgus, 1974.

Lepmann, L., Lepmann, T., Velsker, K. Matemaatika: X klassile. Kd. 2. Tallinn: Koolibri, 2000.

META Siinusteoreem, siinusteoreemi tõestus, kolmnurga lahendamine, kaks külge ja ühe külje vastasnurk, külje seos vastasnurgaga,

Platoni ristjalg

Üks kolmest vanaaja lahendamata probleemist on kuubi duplikatsiooni e. Delose ülesanne. Selle aluseks on Vana-Kreeka legend, mis jutustab järgmist.

Delose saarel võimutsenud kunagi must surm – katk. Hirmunud saarlased tulid saare kaitsejumala Apolloni templisse, et preestrite suu läbi küsida, kuidas jumalalt armu saada ja inimesed nakkusest ning surmast päästa. Apollon nõudis, et suurendataks templi kuubikujulist ohvrialtarit täpselt kaks korda. Inimesed panid templisse teise täpselt niisama suure kuubikujulise altari, kuid must surm jätkas laastamistööd. Selgus, et Apollon oli nõudnud muud: altarit oli vaja küll kaks korda suurendada, kuid nii, et tema geomeetriline kuju jääks muutumatuks.

See ülesanne on küll sirkli ja joonlaua abil lahendamatu, kuid ometi leidub näiteid, kuidas probleemi püüti lahendada teiste meetoditega. Platon olevat kasutanud kõrvaloleval joonisel kujutatud ristjalga. Ristjalg tuleb konstrueerida selliselt, et üks õlg läbib ristjala tippu C, teine tippu B. Siis lõik OB = x, oleks uue kuubi külg ja EO templis olnud kuubi külg. Saadud küljega kuubi ruumala oleks kaks korda suurem antud esialgse kuubi ruumalast a^3. Tõepoolest, täisnurksetest kolmnurkadest EBC ja BCF järeldub, et

x^2=ay (teoreem täisnurkse kolmnurga kõrgusest)

ning samal põhjusel

y^2=2ax

Esimesest võrdusest saame, et y=\frac{x^2}{a}. Asendades selle y väärtuse teise võrdusesse, saame \frac{x^4}{a^2}=2ax ehk x^3=2a^3.

Teoorias on kõik ilus, aga kuidas ristjalg ikkagi töötab. Otsisin netist mõnda head joonist, aga jäigi see leidmata. Kasutan siis oma konstruktsiooni.

Ristjalg koosnes ühest statsionaarsest osast, mis oli sarnane tööõpetuses kasutatava “nurgikuga” (vähemalt me kutsusime nii seda puust täisnurga mõõtmiseks kasutatavat riistapuud) ja teisest liikuvast osast, mis fotol on hallilt tähistatud. Millised andmed kreeklastel olemas olid? Oli olemas antud kuubi külg a ja siis selle külje kahekordne 2a. Teljed võisid nad joonestada risti selle sama ristjalaga. Rohkem polnud neil kuskilt andmeid võtta. Kui me teooriat vaatame, siis on lahendus lõigu pikkus tipust B kuni telgede ristumiskohani. Samas üks õlg peaks läbima tippu C. Nagu jooniselt näha, panin ma alguses suvaliselt ristjala peale ja kuigi tipp B asub vajalikul teljel, ei läbi üks õlgadest sugugi tippu C.  Nii hakkasidki kreeklased siis ristjala abil asju rihtima ja õigeks ajama.

Esmalt nihutati statsionaarset osa teljestikus üles/alla, siis nihutati jälle vähehaaval liikuvat osa, kuni lõpuks saadi olukord nagu on näidatud kõrval oleval joonisel joonisel. Ristjala õlad läbivad ristjala tippe ja lõikude a ning 2a täpselt ristjala sisemisi servasid. Nüüd lõik, mis jääb tipust B kuni ristumiskohani on otsitava kuubi külg (esimesel joonisel x) . Lõik tipust C kuni ristumiskohani on esimesel joonisel tähistatud tähega y. Sättimisega võib näha küll natuke vaeva ja võib olla ei ole tulemus matemaatiliselt kuigi täpne, kuid praktikas vajaliku täpsuse saamiseks on antud meetod täiesti sobilik. Muidugi ei ole tegu ainsa võimaliku meetodiga.

Kasutatud materjalid:
Kariste, K. Ajalugu matemaatilises hariduses: magistritöö. Tartu Ülikool, Tartu 2011

META: Platon, Delian problem, Delose ülesanne, kuubi duplikatsioon, sirkli ja joonlauaga lahendamatu probleem, kolm vanaaja lahendamatut ülesannet, kuubi ruumala kahekordistamine, Platoni ristjalg, Apollon

Radiaanidest

Koolis oleme harjunud nurki mõõtma tavaliselt kraadides. On olemas ka teisi mooduseid surga suuruse mõõtmiseks. Üheks võimaluseks on mõõta nurga suurust ühikutes, mida kutsutakse radiaanideks. Mitmetes teaduslikes- ja insenerarvutustes eelistatakse radiaane teadlikult kraadidele.

DEF: kesknurk, millele vastava kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega.

Kasutades definitsiooni, leiame valemi vastava nurga kaare pikkuse arvutamiseks. me teame, et 1 radiaani suurusele nurgale vastab kaar pikkusega r . Järelikult vastab 2 radiaani suurusele nurgale kaar pikkusega 2r, nagu on kujutatud ka alloleval joonisel. Tähistades nurga suuruse radiaanides tähega \theta, saame ringjoone kaare pikkuse arvutamiseks valemi :

s=r\theta

Järgmine küsimus tekib kohe, et kui ringjoonele tiir peale teha, kui suur on siis see nurk radiaanides. kasutame oma äsja saadud valemit ja ringjoone ümbermõõtu. Seega

2\pi r = r\theta, millest r taandamisel jääb järgi \theta = 2\pi . Arvestades, et täispööre on 360^\circ, siis saame seose radiaanide ja kraadide vahel :

360^\circ = 2\pi rad

Sellest seosest on võimalik tuletada erinevate oluliste nurkade suurusi. Näiteks jagades mõlemaid pooli 12-ga saame, et 30^\circ = \frac{2}{12}\pi = \frac{\pi}{6}. Jagades mõlemaid pooli 8-ga saame 35^\circ = \frac{2}{8}\pi = \frac{\pi}{4} jne. Lisainformatsiooni saamiseks vaadake allolevat faili.

Kuid nüüd küsimus, mitu kraadi on üks radiaan? Selle jaoks on vaja 360^\circ jagada läbi 2\pi-ga. Siit saame seoseks

1 rad = \frac{360^\circ}{2\pi}=\frac{180^\circ}{\pi}=57,296^\circ

Pealkiri: Radians
Alapealkiri:
Keel: inglise
Autor: mathcentre
Faili tüüp: pdf
Maht: 8lk

META
kraad, radiaan, radiaani definitsioon, raadiuse pikkune kaare osa, kaare pikkuse arvutamine, seos kraadide ja radiaanide vahel, sektori pindala, erinevaid näiteid ja harjutusi.

Matemaatika ja legend veeuputusest

Vabandan esmalt kõigi ees, kes on oodanud siit blogist midagi uut ja huvitavat, aga viimasel ajal pole palju uut tulnud. Hetkel mul lõputöö käsil ja luban, et suvel hakkab rohkem huvitavat materjali tulema. Siiski-siiski, trehvasin lugema Jakov Perelmani raamatut “Elav matemaatika”.  Täpsemalt lugesin peatükki suurest veeuputusest.

Piiblisse kogutud tähendamissõnade seas on pärimus paduvihmast, mis olevat kunagi uputanud ka kõige kõrgemad mäed. Piibli järgi “Jumal vaatas maad, ja näe, see on raisku läinud, sest kõik liha maa peal oli oma eluviisidega raiskunud!”

Ja jumal ütles Noale: “ma olen otsustanud teha lõpu kõigele lihale, sest maa on täis nende vägivalda, ja seepärast, vaata, ma hävitan nad ühes maaga!”

Noa ise sai armu ja jumal käskis tal ehitada suure laeva, mis oleks 300 küünart pikk, 50 küünart lai ja 30 küünart kõrge. Laevas oli kolm korrust.  laevaga pidid pääsema kõik maismaaloomade ja lindude liigid, igast liigist üks paar. Lisaks pidi laeva minema kõvasti toidumoona.

Kõige liha hävitamiseks valis jumal paduvihma. Piibel kirjutab: “Siis tuli 40 päeva veeuputust maapeale … Vesi tõusis ja tõstis laeva nõnda, et see kerkis kõrgele maast …. Ja vesi võttis maa peal üpris väga võimust ja kõik kõrged mäed taeva all kaeti. Vesi tõusis neist 15 küünart kõrgemale, nõnda et mäed olid kaetud … Nõnda hävitati kõik olendid, kes maa peal olid.”

Siinkohal tekib kaks küsimust:

  1. Kas saab olla paduvihma, mis kataks maakera kõige kõrgemad mäed?
  2. Kas kõik loomaliigid võisid mahtuda Noa laeva?

Loe edasi

Ühest lõpmatuseni

Pealkiri: From One to Infinity
Alapealkiri: Historical Development and Student View
of Large Numbers
Keel: inglise
Autor: Mala Saraswathy Nataraj ; Michael O. J. Thomas
Faili tüüp: pdf
Maht: 7lk

META: ajalooline lähenemine, matemaatika õpetamine, uurimus, suured arvud, googol, googolplex, positsiooniline arvusüsteem, hindu matemaatika, õpilaste arusaamad lõpmatusest,

Eesti majanduse matemaatiline mudel

Hetkel on 11. klassiga käsil trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. Enda kooliajast mäletan sellest osast ainult tohutul hulgal drillülesandeid, mida me nüüdki üpris palju teinud oleme. Otsisin internetist nende võrrandite rakendatavuse kohta ja leidsin ühest USA õppikust päris huvitava projekti. Oli antud USA tööpuudus ja ülesandeks oli modelleerida vastav trigonomeetriline funktsioon ning siis prognoosida erinevate tõusude ja mõõnade kordumist. Katsetasime sama ülesannet Eesti tööpuuduse prognoosimiseks. Esmalt said rühmad ette olukorra

Olukord:

Eesti on vaevelnud juba üle kahe aasta majanduskriisis. Töötus on kasvanud kõigi aegade rekordtasemele, ulatudes 2010 aastal 17,6%. Valitsuskabineti püüdlused töötust likvideerida ei ole seni vilja kandnud. Majandusteadlased oskavad ainult rääkida, et majandus on tsükliline ja majandusbuumile võib järgneda pehme või kõva maandumine nii aktsiaturgudel kui ka kinnisvaras. Eesti majanduse buum ja langus ei sõltu enam kaugeltki meist endist ega valitsuse silmapaistvast tööst, vaid protsessidest maailmas. Seetõttu palus peaminister appi uurimisrühma, kes töötaks läbi mitme aasta töötuse statistika ning koostaks mudeli, mis lubaks ennustada järgmist aega, kui töötus on taas alla 5%.

Esmaseks ülesandeks oli vaja leida endale sobiv funktsioon, mille järgi hakata tööpuudse trende prognoosima. Pooled grupid kasutasid selle jaoks Geogebra töölehte ja arvutit, pooled pidid kahjuks hakkama käsitsi õiget võrrandit leidma.

Uurimisülesanded

Järgnevas tabelis on toodud Eesti statistikaameti poolt kogutud info alates aastast 1993 kuni majanduskriisini tippajani (2009).

  • 15 MIN | Milline neist trigonomeetrilistest trendijoontest üldkujul r= a\cdot \sin(bt+d)+c sobiks kõige paremini Eesti tööpuuduse kirjeldamiseks, kus r on töötuse määr protsentides ja t aeg aastates, arvestades et t=0 vastab 1993 aastale? Arutage rühmas ja põhjendage oma vastust.
  1. r=7,6\sin(0,24t)+6.3
  2. r=7,4\sin(0,24t)+6,9
  3. r=5,2\sin(0,36t-0,7)+10
  4. r=5.2\sin(0,4t-0,7)+10
  5. Leidsin ise parema …

Selle kontrollimiseks ava Geogebra tööleht . Iga punkt väljendab ühte tabelis olevat aastat ja sellele aastale vastavat töötuse määra. Nii on punkt A koordinaatidega (0 ; 6,9), väljendades meie nullaasta (1993) töötuse määra 6,9%. Proovige liugureid liigutades saada võimalikult täpne punktide paiknemist kujutav graafik. Testige GeoGebraga antud nelja trendijoont või leidke ise täiesti uus. Koostage joone kohta esimese tabeliga sarnane tabel.

20 MIN | ARUANNE TULEMUSTEST

  • Kasutades konstrueeritud mudelit, leidke vastus küsimusele, mis aastal võiks tööpuudus taas langeda 2007 aasta tasemele.
  • Enne praegust olukorda oli töötus kõrgeim 2000 aastal (14,2%). Mis aastal alles oleks konstrueeritud mudeli järgi pidanud tööpuudus saavutama taas oma haripunkti.

Loe edasi