Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem

Kaido Lisa kommentaar

8. klassil hakkab täna uus osa – kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem. Lugesin õhtul läbi õpiku eesmärgid ja need tundusid ikka väga abstraktsed. Mõtlesin, kuidas selle teema eesmärke piltlikumalt avada. Õnneks kasutatakse erinevates valdkondades kahe tundmatuga lineaarvõrrandeid päris palju.  Mis mulle koitis esimesena, on taksode tariifid. Internetis on olemas mõnus lehekülg http://www.taksod.net/, mis pakub väga head matemaatilist informatsiooni.

Nädalavahetusel on tulemas skateboardi ja BMX festival Simpel session 11 (100% füüsika ja matemaatika rakendusi ja sadu noori, kes seda kõike katsetavad 🙂 )või lähete lihtsalt kuhugi peole ja jääte hiljapeale. Ohutu kojusaamise mõttes otsustate tellida endale takso. Tartlasena olete harjunud, et sõidu alustus on 1,6 € ja kilomeetri hind on 0,77€. Tallinnas on kahjuks või õnneks üle kümne erineva taksofirma. Valisin ise välja näiteks Amigo takso, kelle hinnakiri võrreldes Tartu omaga on näha järgnevas tabelis.

Sõidu alustamine (EUR) Kilomeetri hind (EUR)
A-Takso (Tartu) 1,6 0,77
Amigo takso (Tallinn) 1,92 0,38

Kohe tekib küsimus, kas Tartus või Tallinnas on takso odavam? Mitu km peab sõitma, et mõlemaga läheks sama palju raha? Millal läheb A Taksoga sõit kallimaks, kui Amigo taksoga.

Tähistame taksosõidu maksumuse tähega p (“price” -hind ingl. k) ja tee pikkuse tähega d (“distance” – vahemaa ingl.k).

A-takso puhul Tartus oleks hinna ja teepikkuse vaheline seos

p= 1,6+0,77d

Amigo takso puhul Tallinnas oleks hinna ja teepikkuse vaheline seos

p= 1,92+0,38d

Mis on nende võrrandite lahendiks. Kuna on kaks tundmatut, peab tema lahendiks olema arvupaar. Antud momendil tähendab see arvupaar siis vastavalt sõidetud kilomeetrite tiksunud hinda. Tähistatakse seda järjestaud arvupaarina (d;p). Kas arvupaar (0;0) oleks kummagi võrrandi lahendiks? Vastus on ei! Tartu takso võrrandi lahendiks oleks (0; 1,6) ja Tallinna takso võrrandi lahendiks (0; 1,92). See tähendaks, et isegi 0km sõites tuleb meil maksta sisseistumistasu. Kuid kas neil võrranditel on olemas ühiseid lahendeid – selliseid, miks oleks samal ajal mõlema võrrandi lahendiks? Selleks uurime nende võrrandite graafikuid.

Siin graafikul on peal meie punktid (0; 1.6) ja (0; 1.92) , kuid on peal ka nende joonte lõikepunkt C (0.82; 2.23). Mida see punkt näitab? See punkt näitab, et kui sõita täpselt 820m, siis pole vahet, kumma firma teenust me kasutame, enne seda punkti on Tartu A-takso odavam, peale seda punkti muutub Tallinna Amigo takso odavamaks. Nende punktide leidmiseks ongi matemaatikas kasutusele võetud lineaarvõrrandisüsteem ning selle lahendamine. Matemaatilises keeles tähendaks antud ülesanne lineaarvõrrandisüsteemi

\begin{cases} p=1,6+0,77d \\ p=1,92+0,38d \end{cases}

lahendite leidmist.

Selle jaoks kasutatakse liitmis– ja asendusvõtet.

Liitmisvõte.

Liitmisvõtte idee on viia lineaarvõrrandisüsteem kujule, kus võrrandeid omavahel liites saame ühe muutuja elimineerida ehk kaotada. Vaatame seda sama takso ülesannet. Korrutame esimes võrrandi arvuga -1

\begin{cases} -0,77d+p=1,6 \vert \cdot (-1)\\ -0,38d+p=1,92 \end{cases}

Saame uueks süsteemiks

\begin{cases} 0,77d-p=-1,6 \\ -0,38d+p=1,92 \end{cases}

Nüüd liites esimest ja teist võrrandit omavahel koondub p välja ja saame

0,39d=0,32 \Rightarrow d=0,820

Asendusvõte

Asendusvõtte puhul avaldame lihtsalt ühest võrrandist ühe tundmatu ning asendame selle teise võrrandisse, et meil jääks järgi ühe muutujaga võrrand.

Võrrandisüsteemist

\begin{cases} -0,77d+p=1,6 \\ -0,38d+p=1,92 \end{cases}

Avaldame näiteks esimeset võrrandist tundmatu p .

p=1,6+0,77d.

Asendame selle teise võrrandisse ja saame -0,38d+p=1,92 \Rightarrow -0,38d+ 1,6+0,77d=1,92 \Rightarrow 0,39d= 0,32

Jagades mõlemaid pooli 0,39 saame d=0,820

META: lineaarvõrrand, lineaarvõrrandisüsteem, asendusvõte, liitmisvõte, graafiline lahendamine, kahe tundmatuga lineaarvõrrand, kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiline lahendamine

Lisa kommentaar