Murdvõrrandid

Definitsioon Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis sisaldab ka muutujat murru nimetajas.

Näide ühest murdvõrrandist

$\frac{2x^2}{x+1} + 1=\frac{2}{x+1}$

Murdvõrrandi lahendamine

Vaatleme juba esitatud näidet. Viime kõik liikmed ühele poole, muutes üle viidud liikmete märgid.

$\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} =0$

Määrame võrrandi määramispiirkonna. Määramispiirkond on vajalik, et kindlaks teha kõik x väärtused. mille korral üldse võrrandil leidub lahendeid ja hilisemaks võõrlahendite kontrolliks. Antud võrrandi puhul on määramispiirkonnaks $\mathbb{R}$ \ {-1} ( kogu reaalarvude hulk, millest on eemaldatud arv -1). Sel juhul tekib nulliga jagamine ja võrrand ei ole määratud. Muude arvude korral seda probleemi ei teki.

Leiame ühise nimetaja ja viime (vajadusel tegurdame nimetaja ja avame lugejas sulud.)

$\frac{2x^2}{x+1} + 1 -\frac{2}{x+1} = 0$

Ühiseks nimetajaks on antud võrrandil on $x+1$ . Laiendame ja viime kõik liikmed ühisele murrujoonele.

$\frac{2x^2 + (x+1) -2}{x+1}=0$

Tähtis koht murdvõrrandi lahendamisel! Murd saab olla siis ja ainult siis null, kui murru lugeja on null. Järelikult võime järgnevalt vaadelda ainult juhtu, millal lugeja on null.

$2x^2 + x+1 -2 = 0$

$2x^2 +x -1= 0$

$x_1;_2 = \frac {-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$

$x_1;_2 = \frac {-1\pm\sqrt{1^2 -4\cdot 2 \cdot -1}}{2\cdot 2}$

$x= \frac{-1\pm\sqrt{9}}{4}$

$x= \frac{-1\pm 3}{4}$

$x_1 = 0,5$

$x_2 = -1,$ võõrlahend, sest ei kuulu määramispiirkonda

Antud võrrandi lahendiks on x= 0,5

Murdvõrranditega puutume kokku erinevates koostöö ülesannetes.

Näide

Veekeskuse bassein täitub peapumba abil 6 tunni võrra kiiremini kui tagavara pumba abil. Mõlemad pumbad täidavad koos töötades basseini 4 tunniga. Mitme tunniga täitub bassein peapumba abil?